算法导论学习笔记-第5章 概率分析和随机算法

总结：这章由雇佣问题引出了概率
分析和随机算法。概率分析一般用于确定一些算法的运行时间。而随机化算法用来强行使算法的输入符合某种概率分布，随机化算法的行为不仅由输入决定，还要由
一个随机数生成器所生成的值来决定。

1、

概率分析

可以利用指示器随机变量来进行概
率分析，获得事件发生的期望值。

引理：给定样本空间
S

和
S

中的事件
A

，令
XA
=I{A}

，则
E[XA
]=Pr{A}

2、


随机算法


概率分析是在输入上作了假设，而
在随机算法中，随机发生在算法上，而不是发生在输入分布上，也就是对于同一个输入，由于引入了随机算法，最后的排列也会发生变化。这样做是使得“即使你最
坏的敌人也无法产生最糟的输入数列，因为随机的排列使得输入次序不相关，只有在随机数生成器产生一个不幸运的置换时，随机算法才运行得不好”。

随机排列数组的方法

1
）为数组的每个元素
A[i]

赋一个随机的优先级
P[i]

，然后根据优先级对数组
A

中的元素进行排序。
这
里排序，将花费
O(nlgn)

的时间。

伪代码

PERMUTE-BY-SORTING
n <- length[A]
for i <- 1 to n
do P[i]=RANDOM(1,n^3)
sort A, using P as sort keys
return A

引理：假设所有的优先级都是唯一
的，过程
PERMUTE-BY-SORTING

可
以产生输入的均匀随机排列。

2

）原地排列给定的
数列。在
O(n)

时间内完成。

伪代码

RANDOMIZE-IN-PLACE(A)
n <- length[A]
for i <- 1 to n
do swap A[i] <-> A[RANDOM(i,n)]

引理：过程
RANDOMIZE-IN-PLACE

可以计算出一个均匀随机排列。