导数、偏导数、方向导数、梯度,有何区别?
0、总结
参考:https://www.geek-share.com/detail/2726304837.html
1、定义
参考:https://blog.csdn.net/qq_48736958/article/details/114543957
① 导数:
反映的是函数y=f(x)在某一点处沿x轴正方向的变化率。
再强调一遍,是函数f(x)在x轴上某一点处沿着x轴正方向的变化率/变化趋势。
直观地看,也就是在x轴上某一点处,如果f’(x)>0,说明f(x)的函数值在x点沿x轴正方向是趋于增加的;如果f’(x)<0,说明f(x)的函数值在x点沿x轴正方向是趋于减少的。
② 偏导数:
导数与偏导数本质是一致的,都是当自变量的变化量趋于0时,函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。
直观地说,偏导数也就是函数在某一点上沿坐标轴正方向的的变化率。(注意:偏导数的方向不是切线方向,而是沿着自变量坐标轴的方向)
区别在于:导数,指的是一元函数中,函数y=f(x)在某一点处沿x轴正方向的变化率;偏导数,指的是多元函数中,函数y=f(x1,x2,…,xn)在某一点处沿某一坐标轴(x1,x2,…,xn)正方向的变化率。
③ 方向导数:
在前面导数和偏导数的定义中,均是沿坐标轴正方向讨论函数的变化率。
那么当我们讨论函数沿任意方向的变化率时,也就引出了方向导数的定义,即:某一点在某一趋近方向上的导数值。
通俗的解释是:我们不仅要知道函数在坐标轴正方向上的变化率(即偏导数),而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率,而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
④ 梯度:
梯度的提出只为回答一个问题:函数在变量空间的某一点处,沿着哪一个方向有最大的变化率?
梯度定义如下:函数在某一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。
这里注意三点:
1)梯度是一个向量,即有方向有大小;
2)梯度的方向是最大方向导数的方向,即函数增长最快的方向;
3)梯度的值是最大方向导数的值。
2、理解
如下视频和文章有助于直观理解:
https://www.bilibili.com/video/BV1sW411775X?from=search&seid=12365212042315344475
https://www.zhihu.com/question/36301367
注意:
假设一个二元函数z=f(x,y),可视化后是一个可以呈现在xyz坐标系中的三维图像,求某个方向的偏导数或梯度时,原函数会降一维。
比如,求z对x的偏导数时,y就会为一个固定值,即降低一维,同时偏导数方向是自变量坐标轴方向。
而二元函数z=f ad8 (x,y)的梯度方向,是方向导数取最大的方向(函数上升最快的方向),该方向在xy平面内,梯度值的大小为方向导数的最大值。
问:偏导数、方向导数、梯度有何区别?
答:偏导数只能对某一坐标轴方向求导,方向导数可对自变量定义域任意方向求导,而梯度是方向导数值取最大的一个特殊情况。
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