梯度和方向导数的概念

困扰多年，看了不久以后就又会忘记。

一.方向导数

（1）方向导数是个数值。

二维空间情形：



我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。

三维空间计算过程相似；



二.梯度

（1）梯度是一个向量。

（2）沿梯度方向的方向导数达到最大值；

sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxiangdaoshuyutidu.htm

以二维空间为例，对于Z=f(x,y).在某点P(x0,y0)处的梯度可以理解为(DZ/Dx|x=x0，DZ/Dy|y=y0)。具体到离散状态，用差分的形式来表示

就是（一维的表示方法）

沿X方向 (f(x+Dx)-f(x)）

沿Y方向 （f(y+Dy)-f(y))

梯度的方向表示为Sigta=arctan(Dy/Dx)

所以求解一个图像的各个方向的梯度时，我们采用模板与图像的卷积来进行计算：







分别表示在90度，0度，135度和45度的变化。

总结：某一方向的方向导数也就是f(x,y)在该方向的变化率（也就是f(x+Dx,y+dy)-f(x,y)的值），当该方向与梯度的方向一致时梯度方向也就是方向导数最大的方向，方向导数的值就等于梯度的模。

（参见网址：210.31.100.100/gdsx/?p=61&a=view&r=219)

有一个疑问是，在Canny算子进行边缘检测时，也会用到梯度方向的最值问题，如果角度为0-45度之间的一个值，该怎样取周围的像素点？

因为上面的4个角度在3×3的模板中就可以保证全部取到，所以，若要更精确，是不是要增加模板的大小？

希望高手帮忙解决。