LOJ #143. 质数判定

题目描述

判定输入的数是不是质数。

输入格式

若干行，一行一个数 x。

行数不超过 1.5×104。

输出格式

对于输入的每一行，如果 x 是质数输出一行 Y，否则输出一行 N。

样例

样例输入

1
2
6
9
666623333

样例输出

N
Y
N
N
Y

数据范围与提示

1≤x≤1018。

欢迎hack（如果你不是管理员，可以在题目讨论区发帖）。

Solution：

　　本题Miller-rabin模板题。

　　Miller-rabin其实是个很简单的算法，用来快速判断一个数是否为素数。

　　前置技能：二次探测定理。

　　　　若$a^2\equiv 1\mod p$且$p$为素数，则$a\equiv \pm 1\mod p$。

　　　　证明：$\because a^2\equiv 1\mod p$

　　　　          $\therefore (a+1)(a-1)\equiv 0 \mod p$

　　　　　　  又$p$为素数

　　　　　　  $\therefore a=1$或$a=p-1$

　　我们由费马小定理，若$p$为素数，则$a^{p-1}\equiv 1 \mod p$，那么对于一个需要判断是否为素数的数$x$：

　　　　1、$x$必须是个非$1$的奇数。

　　　　2、令$x=2^k*c+1$（$c$为奇数），选择随机数$a$，使其满足所有$i<r$，都有$a^{2^i*c}\;mod\;p=p-1\;or\;1$。

　　然后就是模拟上述过程，多选几个随机数，若都能通过测试就是素数啦。

　　一般的话，随机选取4个数$2,3,5,7$，则在$2.5*10^{13}$以内唯一一个判断失误的数为$3215031751$。

　　然后细节就是当前数不能是所选取的随机数的倍数，否则会误判。

代码：

/*Code by 520 -- 9.10*/#include#define il inline#define ll long long#define RE register#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)using namespace std;const int cnt=3,tab[5]={2,3,7,61};
ll n,m;

ll Mul(ll x,ll y,ll mod){
    ll ans=(x*y-(ll)((long double)x/mod*y+0.5)*mod);    return ans<0?ans+mod:ans;
}

ll Exp(ll x,ll y,ll mod){
    ll ans=1;    while(y){        if(y&1) ans=Mul(ans,x,mod);
        y>>=1;
        x=Mul(x,x,mod);
    }    return ans;
}bool Miller_Rabin(ll &n){    if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==11||n==61) return 1;    if(n==1||n%2==0||n%3==0||n%5==0||n%7==0||n%11==0||n%61==0) return 0;
    For(i,0,cnt) {
        RE ll d=n-1;        while(!(d&1)) d>>=1;
        RE ll s=Exp(tab[i],d,n);        while(s!=1&&s!=n-1&&d!=n-1) d<<=1,s=Mul(s,s,n);        if(s!=n-1&&!(d&1)) return 0;
    }    return 1;
}int main(){    while(scanf("%lld",&n)!=EOF) putchar(Miller_Rabin(n)?'Y':'N'),putchar('\n');    return 0;
}