初探-动态规划思想

分析优化解的结构
• 递归地定义最优解的代价
• 自底向上地计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息
• 根据构造最优解的信息构造优化解

把原始问题划分成一系列子问题；
• 求解每个子问题仅一次，并将其结果保存在一个表中，以后用到时直接存取，不重复计算，节省计算时间
• 自底向上地计算。
• 整体问题最优解取决于子问题的最优解（状态转移方程）（将子问题称为状态，最终状态的求解归结为其他状态的求解）

斐波那契数列

斐波那契数列大家都很熟悉，而且知道用递归可以很容易的做出来

0，1，1，2，3，5，8，13，21

递推公式：F
=F[n-1]+F[n-2]

fib(0)=0
fib(1)=1
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)

递归：

实现代码：

int fib(int n){
if(n<=0){
return 0
}else if(n==1){
return 1
}else{
return fib(n-1)+fib(n-2)
}
}

#简洁写法

int fib(int n){
return n<=1 ? n : fib(n-1) + fib(n-2)
}

时间复杂度： O(2^n)

递推：

实现代码：

int fib(int n,int[]memo){
if(n<=0){
return 0
}else if(n==1){
return 1
}else if (memo
){
memo
=fib(n-1)+fib(n-2)
}
return memo

}

时间复杂度： O(n)

走格子

格子的左上角为入口，右下角为出口，粉红色为路障石头，请问有多少种方法从入口走到出口

paths(start,end)=paths(A,end)+paths(B,end)
paths(A,end)=paths(C,end)+paths(D,end)
paths(B,end)=paths(C,end)+paths(E,end)

递归：

每当走到一个位置时就会有两个或一个选择

实现代码：

int countPaths(boolean[][]grid,introw,intcol){
if(!validSquare(grid,row,col)) return 0;
if(isAtEnd(grid,row,col))return 1;
return countPaths(grid,row+1,col)+countPaths(grid,row,col+1)
}

时间复杂度： O(2^n)

递推：

从后（end）推前方有几种方式走

例：

​ 最下面一行到终点路线只有一条，所以最底下都是一，最后面的列也到终点也只有一条路线，所以都是一，以此类推得到每一个方块到终点的路径数如下图所示：

opt--状态最佳路径数
opt[i,j]--[i,j]位置状态最佳路径数
opt[i-1,j]--[i-1,j]位置（[i,j]位置下方）状态最佳路径数
opt[i1,j-1]--[i,j-1]位置（[i,j]位置右方）状态最佳路径数

实现代码：

for i in range(10, 0, -1):{
for j in range(10, 0, -1):{
if a[i,j] = '空地':
opt[i,j] = opt[i-1,j] + opt[i, j-1]
else://石头
opt[i, j] =0
}
}

时间复杂度： O(n)