基于python的数据结构和算法（北京大学）第六章（贪心策略和动态规划）

• 分治策略：
  解决问题的典型策略：分而治之
  将问题分为若干更小规模的部分
  通过解决每一个小规模部分问题，并将结果汇总得到原问题的解
  
  分治策略和递归算法的联系：
  

• 从找零问题中看贪心策略：
  贪心策略（Greedy Method）：每次都试图解决问题尽量大的一部分。
  贪心策略解法：从最大面值的硬币开始，用尽量多的数量，有余额的，再到下一最大面值的硬币，还用尽量多的数量，一直到最小面值硬币为止。

递归解法：
兑换硬币最简单直接的情况就是需要兑换的面值正好等于某种硬币，就只用找零1枚硬币，也就是递归的基本结束条件。
其次需要减小问题的规模，我们要对每种硬币尝试1次，例如美元体系：找零减去1分(penny)后，求兑换硬币最少数量(递归调用自身)；找零减去5分(nikel)后，求兑换硬币最少数量；找零减去10分(dime)后，求兑换硬币最少数量；找零减去25分(quarter)后，求兑换硬币最少数量；上述4项中选择最小的一个。

# 效率极差递归解法：
def recMC(coinValueList,change):
minCoins = change
if change in coinValueList:
return 1
else:
for i in [c for c in coinValueList if c <= change]: # 选比要找零面值小的硬币
numCoins = 1 + recMC(coinValueList,change-i)
if numCoins < minCoins:
minCoins = numCoins
return minCoins
print(recMC([1,5,10,25],63))

上述代码效率低下的重要原因就是重复计算太多，算法改进的关键就在于消除重复计算。可以用一个表将计算过的中间结果保存起来，在计算之前查表看看是否已经计算过。这个算法的中间结果就是部分找零的最优解，在递归调用过程中已经得到的最优解被记录下来。在递归调用之前，先查找表中是否已有部分找零的最优解，如果有，直接返回最优解而不进行递归调用，如果没有才进行递归调用。
这种技术叫做memoization(记忆化/函数值缓存)技术。

# 递归解法改进代码：
def recDC(coinValueList,change,knownResults):
minCoins = change
if change in coinValueList:  # 递归基本结束条件
knownResults[change] = 1 # 记录最优解
return 1
elif knownResults[change] > 0:
return knownResults[change] # 查表成功，直接用最优解
else:
for i in [c for c in coinValueList if c <= change]:
numCoins = 1 + recDC(coinValueList,change-i,knownResults)
if numCoins < minCoins:
minCoins = numCoins
# 找到最优解，记录到表中
knownResults[change] = minCoins
return minCoins

print(recDC([1,5,10,25],63,[0]*64))

• 动态规划法：
  从最简单的“1分钱找零”的最优解开始，逐步递加上去，直到我们需要的找零钱数。
  在找零递加的过程中，设法保持每一分钱的递加都是最优解，一直加到求解找零钱数，自然得到最优解。
  采用动态规划来解决11分钱的兑换问题：
  从1分钱兑换开始，逐步建立一个兑换表。
  
  计算11分钱的兑换法，我们做如下几步：
  1.首先减去1分硬币，剩下10分钱查表最优解是1（2个）
  2.然后减去5分硬币，剩下6分钱查表最优解是2（3个）
  3.最后减去10分硬币，剩下1分钱查表最优解是1（2个）

通过上述最小值得到最优解：2个硬币

def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins):
# 从1分开始到change逐个计算最少硬币数
for cents in range(1,change+1):
# 1. 初始化一个最大值
coinCount = cents
# 2. 减去每个硬币，向后查最少硬币数，同时记录总的最少数
for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:
if minCoins[cents - j] + 1 < coinCount:
coinCount = minCoins[cents - j] + 1
# 得到当前最少硬币数，记录在表中
minCoins[cents] = coinCount
# 返回最后一个结果
return minCoins[change]

print(dpMakeChange([1,5,10,21,25],63,[0]*64))

我们注意到动态规划算法的dpMakeChange并不是递归函数，虽然这个问题是从递归算法开始解决，但最终我们得到一个更有条理的高效非递归算法。

动态规划中最主要的思想是： 从最简单的情况开始到达所需找零的循环，其每一步都依靠以前的最优解来得到本步骤的最优解，直到得到答案。
代码改进：返回硬币如何组合

# 代码改进：返回硬币如何组合
def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins,coinsUsed):
for cents in range(1,change+1):
coinCount = cents
newCoin = 1  # 初始化一下新加硬币
for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:
if minCoins[cents - j] + 1 < coinCount:
coinCount = minCoins[cents - j] + 1
newCoin = j  # 对应最小数量，所减的硬币
minCoins[cents] = coinCount
coinsUsed[cents] = newCoin
return minCoins[change]

def printCoins(coinsUsed,change):
coin = change
while coin > 0:
thisCoin = coinsUsed[coin]
print(thisCoin)
coin = coin - thisCoin

amnt = 63
clist = [1,5,10,21,25]
coinsUsed = [0]*(amnt+1)
coinCount = [0]*(amnt+1)

print("Making change for",amnt,"requires")
print(dpMakeChange(clist,amnt,coinCount,coinsUsed),"coins")
print("They are:")
printCoins(coinsUsed,amnt)
print("The used list is as follows:")
print(coinsUsed)

• 博物馆大盗问题：
  大盗潜入博物馆，面前有5件宝物，分别有重量和价值，大盗的背包仅能负重20公斤，请问如何选择宝物，总价值最高？
  
  我们把m(i, W)记为：前i(1 <= i <= 5)个宝物中，组合不超过W(1 <= W <= 20)重量，得到的最大价值m(i, W)应该是m(i-1, W)和m(i-1, W-Wi)+vi两者最大值。我们从m(1, 1)开始计算到m(5, 20)。
  
  
  动态规划：

# 宝物的重量和价值
tr = [None,{'w':2,'v':3},{'w':3,'v':4},{'w':4,'v':8},
{'w':5,'v':8},{'w':9,'v':10}]
max_w = 20  # 大盗最大承重
# 初始化二维表格m[(i,w)]，表示前i个宝物中，最大重量w的组合，所得到的最大价值
# 当i什么都不取，或w上限为0，价值均为0
m = {(i,w):0 for i in range(len(tr))
for w in range(max_w+1)}
# 逐个填写二维表格
for i in range(1,len(tr)):
for w in range(1,max_w+1):
if tr[i]['w'] > w:  # 装不下第i个宝物
m[(i,w)] = m[(i-1,w)]  # 不装第i个宝物
else:
# 不装第i个宝物，装第i个宝物，两种情况下最大价值
m[(i,w)] = max(
m[(i-1,w)],
m[(i-1,w-tr[i]['w'])] + tr[i]['v'])
print(m[(len(tr)-1,max_w)])

递归：

# 宝物的重量和价值
tr = {(2,3),(3,4),(4,8),(5,8),(9,10)}
max_w = 20  # 大盗最大承重

m = {} # 初始化记忆化表格m，key是(宝物组合,最大重量)，value是最大价值

def thief(tr,w):
if tr == set() or w == 0:
m[(tuple(tr),w)] = 0
return 0
elif (tuple(tr),w) in m:  # 若该组合已经存在与记忆化表格m，就直接返回
return m[(tuple(tr),w)]
else:
vmax = 0
for t in tr:
if t[0] <= w:
# 逐个从集合中去掉某个宝物，递归调用
# 选出所有价值中的最大值
v = thief(tr-{t},w-t[0]+t[1])
vmax = max(vmax,v)
m[(tuple(tr),w)] = vmax
return vmax

print(thief(tr,max_w))