创新实训6-9

啥也别说了，先上图

讨论了整整四个小时，只讨论了不到两章，我的那章还没讲完，真佩服我们。不过，印证了真理总是越辩越明这句话，通过这一次的讨论，对于我自己的那章，我都收获良多。

下面会写一下听第三章斯坦纳树和旅行商问题的理解和感悟。

首先，斯坦纳树在近似算法中占据了核心地位，其定义为

给定一个带权的无向图G =(V,E)，其顶点被划分为required和Steiner两个集合，在G中找到一个包含所有required顶点，和Steiner顶点的任意子集的最小代价树。

也就是说，给了一个加权无向图，里面有一些节点，必须经过，称require节点。有一些节点不需要经过，但是加入这些点也许会形成捷径，这些节点称Steiner节点。然后要求每一个require节点，都必须要经过。经过的路径，就可以形成一棵斯坦纳树。斯坦纳树的奇特之处就在于，给了一些定点，在定点之外可以增加额外的点，使得开销变小。

然后给出了一个度量闭包下的斯坦纳树，这里就是要求构造出来的斯坦纳树，斯坦纳节点和require节点之间要满足三角不等式，即两边之和大于第三边。

斯坦纳树和度量闭包下的斯坦纳树是可以相互规约的。

2.设R是所需顶点的集合，那么下证在R上的最小生成树的耗费是小于2OPT的。（也就是说近似算法和最优解的比值小于2）

首先，原图为完全无向图。根据原图得到一棵斯坦纳树，然后对每条边进行加倍（一条出边一条入边代替原来的无向边）得到欧拉回路。欧拉回路是每条边都能必走一次并且最后回到出发点的回路。替换。然后得到下面这个样子。

根据三角形两边之和大于第三边的原理，进行新边替换。也就是用蓝色的边代替掉红色的两条边。因为原图为完全无向图，任意两点之间都有通路。

算法执行完毕得到的图是这样的。空心点是斯坦纳点，是不需要经过的，实心点是必须要经过的。形成一条哈密顿回路。哈密顿回路是每个点都经过一次且最后回到出发点。

我们知道，最优的情况下是最上面的图，那条最小生成树。那么，欧拉回路是最小生成树的二倍。哈密顿回路是根据欧拉回路构建 的，但是由于采用了三角不等式，又小于欧拉回路。把哈密顿回路减掉一条边，就是一棵度量闭包下的斯坦纳树。那么，根据斯坦纳树经过每个点的算法和最优算法之比不会超过2.如下。

哈密顿回路-1条边<哈密顿回路<欧拉回路=2*最小生成树。

旅行商问题：

旅行商问题是在给出n个必经节点，并且，每对节点之间都存在通路，求旅行商经过每个节点，然后回到出发点的最短路径。

首先，旅行商问题是个np难问题，因为旅行商问题可以规约到哈密顿回路问题，而后者是np难的。

反证，假设旅行商问题是可以在多项式时间内算出来，这个多项式时间含α（n）因子。

核心思想是把哈密顿图规约为旅行商问题。把n个节点的图G转换成n个节点的带权无向图G‘。

左图为原图，右图为添加了一条边长为α（n）的边，左图是没有办法构成一条哈密顿回路的，但是右图可以。那么， 如果G中存在哈密顿回路，那么在G’上进行一次最佳TSP旅行的成本是n（注：n-1条边加上一条返回出发点的边）； 如果G中不存在哈密顿回路，那么在G’上进行一次最佳TSP旅行的成本大于α(n)·n（注：一定大于添加进去的那条边）；

因此，寻找哈密顿回路就可以通过看最佳旅行商问题的结果是不是大于α(n)·n。but，这个图是不满足三角不等式的，两边之和一定会小于第三边。结束。

下面还有一些，但是因为队友这部分不是特别清楚，所以留到下次讲。