算法图解1 - 二分查找和大O表示法

闲来无事，翻了翻《算法图解》，觉得收获颇多，所以会陆续整理成笔记，纪录学习过程。嗯，第一篇先来看看二分查找和大O表示法吧。

一、二分查找

二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表（必须有序的原因稍后解释）。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回

null

一般而言，对于包含

n

log2 n

n

很多童鞋可能忘了倒数如何计算，这里我们先复习一下：对数运算是幂运算的逆运算。看看下面的公式，是不是有点回忆起来了。

我们通过

JS

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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20
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22
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25

/**
 * @msg: 二分查找
 * @param {Array} 数组
 * @param {String} 数值
 * @return: index
 */
const binarySearch = (arr, val) => {
  let start = 0;
  let end = arr.length - 1;
  let guess;

  while (start <= end) {
    let mid = Math.ceil((start + end) / 2);
    guess = arr[mid];
    if (guess === val) return mid;
    if (guess > val) {
      end = mid - 1;
    } else {
      start = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
}

binarySearch([1, 3, 5, 7, 9], 3);

一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。

按照上面的思路，我们使用二分查找实现了这个函数。嗯，看起来不错，我们来看看他的运行时间。

二、运行时间

先来看一个概念：
线性时间（

linear time

100

100

40

40

二分查找则不同：如果列表包含

100

7

40

32

可以看出来，对比线性查找来说，二分查找效率出奇的高。

既然提到运行时间，那么我们一般如何来计量呢？

三、大O表示法

大O表示法：是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。。

通过上图，我们不难看出来：
随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。

有鉴于此，仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。这正是大O表示法的用武之地。使用大O表示法，这个运行时间为

O (n )

大O表示法让你能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

需要注意：大O表示法计算的是操作数。

这里有个问题：
如果要查找的是

Adit

Adit

O(n)

O(1)

大O表示法说的是最糟的情形。

因此，你可以说，在最糟情况下，必须查看电话簿中的每个条目，对应的运行时间为

O(n)

O(n)

四、5种常见大O运行时间

• 对数时间：O (log n )，二分查找
• 线性时间：O (n ) ，简单查找
• O (n * log n )，快速排序——一种速度较快的排序算法
• O (n 2 )，选择排序——一种速度较慢的排序算法
• O (n !)，旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法

我们来举个例子，绘制一个包含 16 格的网格，且有 5 种不同的算法可供选择，下面按从快到慢的顺序列出了使用这些算法绘制网格所需的时间：

这就有意思了，通过上面的图示，我们得到几点启示

1.算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
2.谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
3.算法的运行时间用大O表示法表示。
4.

O (log n )

O (n )

五、旅行商问题

上面提到了一种运行时间为

O (n !)

这着实困扰着很多人，一位旅行商要去往

5

5

120

n

n!

n

O(n!)

5 个城市，有 5 种选择，去到一个城市之后，还有 4 种选择，以此类推：

5*4*3*2*1

旅行商问题(

TravelingSalesmanProblem

TSP

TSP

从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的

Hamilton

由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个

NP

由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。

但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。

突然发现，算法的世界真的很大，而很多实际问题都是通过算法解决的。

所以，花些时间了解一下经典算法，也算是提高自己的核心竞争力。

六、文末彩蛋：原来小蜜蜂一直在解决旅行商问题！

进行研究的奈杰尔·雷恩博士说，蜜蜂每天都要在蜂巢和花朵间飞来飞去，为了采蜜而在不同花朵间飞行是一件很耗精力的事情，因此实际上蜜蜂每天都在解决「旅行商问题」。尽管蜜蜂的大脑只有草籽那么大，也没有电脑的帮助，但它已经进化出了一套很好的解决方案，如果能理解蜜蜂怎样做到这一点，对人类的生产、生活将有很大帮助。

七、学习目录

• 算法图解1 - 二分查找和大O表示法
• 算法图解2 - 数组和链表
• 算法图解3 - 递归，快排
• 算法图解4 - 散列表
• 算法图解5 - 图和广度优先搜索
• 算法图解6 - 狄克斯特拉算法与贪婪算法
• 算法图解7 - 动态规划