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数值分析——第二章函数逼近：插值法

2020-04-02 18:44 176 查看

2.1常用的插值法

若p(x)=a0+a1x+⋯+anxn,p(x) = a_{0}+a_{1} x+ \cdots +a_{n}x^{n},p(x)=a0+a1x+⋯+anxn,
其中aia_{i}ai为实数，则称p(x)p(x)p(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值
若p(x)p(x)p(x)为分段的多项式，则称之为分段多项式插值
若p(x)p(x)p(x)为三角多项式，则称之为三角插值

定理1

满足插值条件p(xi)=yi(i=0,1...,n)p(x_{i})=y_{i}(i=0,1...,n)p(xi)=yi(i=0,1...,n)的n次插值多项式存在且唯一。（证明：系数矩阵为范德蒙行列式，从而非奇异，满秩，有唯一解）

2.2拉格朗日插值多项式

线性插值

由L（x）L（x）L（x）的几何直观，得：
两点式 L1=ykx−xk+1xk−xk+1+yk+1x−xkxk+1−xkL_{1}=y_{k}\frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}}+y_{k+1}\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}L1=ykxk−xk+1x−xk+1+yk+1xk+1−xkx−xk,
其中
lk=x−xk+1xk−xk+1,lk+1=x−xkxk+1−xkl_{k}=\frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}},l_{k+1}=\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}lk=xk−xk+1x−xk+1,lk+1=xk+1−xkx−xk
显然
li(xj)=δij={1(i=j)0(i≠j)(i,j=k,k+1)l_{i}(x_{j})=\delta _{ij}=\left\{\begin{matrix} 1(i = j)\\ 0(i \neq j) \end{matrix}\right.(i,j=k,k+1)li(xj)=δij={1(i=j)0(i=j)(i,j=k,k+1)
称lk(x)和lk+1(x)为l_{k}(x)和l_{k+1}(x)为lk(x)和lk+1(x)为线性插值基函数。

抛物插值

从两个点引申到三个点
L2(x)=yk−1lk−1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x)L_{2}(x)=y_{k-1}l_{k-1}(x)+y_{k}l_{k}(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x)L2(x)=yk−1lk−1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x)
li(xj)=δij={1(i=j)0(i≠j)(i,j=k−1,k,k+1)l_{i}(x_{j})=\delta _{ij}=\left\{\begin{matrix} 1(i = j)\\ 0(i \neq j) \end{matrix}\right.(i,j=k-1,k,k+1)li(xj)=δij={1(i=j)0(i=j)(i,j=k−1,k,k+1)
如果满足上述条件的li(x)l_{i}(x)li(x)存在，则上述公式就是二次插值函数。

怎么求li(x)l_{i}(x)li(x)

根据定义 li(x)l_{i}(x)li(x)有两个零点，即xk−1x_{k-1}xk−1及xk+1x_{k+1}xk+1，且为二次多项式。因此，可令li(x)=A(x−xk−1)(x−xk+1)l_{i}(x)=A(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})li(x)=A(x−xk−1)(x−xk+1)
所以现在问题变成如何求A？
又知 li(xk)=1l_{i}(x_{k})=1li(xk)=1,带入可求的A。
同理，可求lk−1(x),lk+1(x)l_{k-1}(x),l_{k+1}(x)lk−1(x),lk+1(x).

前面看了一次插值（线性插值）和二次插值（抛物插值）的例子，我们想如果能把插值推广到n次插值，怎么样？

定义2.2

若n次多项式 lj(x)(j=0,1,...,n)l_{j}(x)(j=0,1,...,n)lj(x)(j=0,1,...,n)在n+1个节点x0<x1<...<xnx_{0}<x_{1}<...<x_{n}x0<x1<...<xn上满足条件
lj(xk)={1(k=j)0(k≠j)(k,j=0,1,...,n)l_{j}(x_{k})=\left\{\begin{matrix} 1(k= j)\\ 0(k \neq j) \end{matrix}\right.(k,j=0,1,...,n)lj(xk)={1(k=j)0(k=j)(k,j=0,1,...,n)

则称这n+1个多项式l0(x),l1(x),...,ln(x)l_{0}(x),l_{1}(x),...,l_{n}(x)l0(x),l1(x),...,ln(x)为节点x0,x1,..,xnx_{0},x_{1},..,x_{n}x0,x1,..,xn上的n次插值基函数。

2.3拉格朗日插值余项

若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x),截断误差为：若在[a,b]上用L_{n}(x)近似f(x),截断误差为：若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x),截断误差为：Rn(x)=f(x)−Ln(x)R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)Rn(x)=f(x)−Ln(x)也称插值多项式的余项或插值余项

由Rn(xk)=0(k=0,1,...,n),得由R_{n}(x_{k})=0(k=0,1,...,n),得由Rn(xk)=0(k=0,1,...,n),得Rn(x)=K(x)(x−x0)(x−x1)...(x−xn)=K(x)ωn(x)R_{n}(x)=K(x)(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n})=K(x)\omega _{n}(x)Rn(x)=K(x)(x−x0)(x−x1)...(x−xn)=K(x)ωn(x)如何求K(x)K(x)K(x)?
构造函数g(t)为：
g(t)=f(t)−Ln(t)−K(x)(t−x0)(t−x1)...(t−xn)g(t) =f(t)-L_{n}(t)-K(x)(t-x_{0})(t-x_{1})...(t-x_{n})g(t)=f(t)−Ln(t)−K(x)(t−x0)(t−x1)...(t−xn)
显然g(t)在[a,b]上至少存在n+2个零点

由上面可以总结出定理2.2

定理2.2

sup∣fn+1(x)∣=Mn+1的意思为fn+1(x)的上界为Mn+1sup\left | f^{n+1} (x)\right |=M_{n+1}的意思为 f^{n+1} (x)的上界为M_{n+1}sup∣∣fn+1(x)∣∣=Mn+1的意思为fn+1(x)的上界为Mn+1

总结内插优于外插，二次插值优于线性插值。

2.4差商及其性质

从而，引出了差商的概念

2.5 Newton插值多项式

牛顿插值的优势

计算复杂性大幅下降，（如添加一个点是，只需要添加一项，不需要全部重新算。）
误差估计对函数的光滑性没有任何要求。

2.6分段线性插值

为什么要引出分段线性插值？
因为

所以提出用分段线性插值来解决这个问题。

可以参考下面的几何图形，基函数在节点中为一或零，中间线性变化。

2.7埃米尔Hermite插值

插值的更高要求，即插值点不仅过节点，而且相切（即一阶导数相同）。
以此类推，如果二阶导数相同，即凹凸性相同，那么拟合曲线和实际曲线更加接近，如果三阶，四阶，…，都相同，那么拟合效果就更好了。

如何求αi和βi\alpha_{i} 和\beta_{i}αi和βi。

遇到有倒数的，就想到用埃尔米特插值。