数值分析 第二章 解线性方程组的直接方法
2017-01-07 23:41
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解方程组方法
对于线性方程组y=Ax+b常有如下几种求解方法。其中,A为系数矩阵,x为解向量。直接三角分解法(Dolittle分解法)
前提:系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0.公式:以下L表示单位下三角矩阵,U表示一个上三角矩阵。
A=LU,Ly=b,Ux=y
平方根法(Cholesky分解法)
前提:系数矩阵A为对称正定矩阵.公式:以下G表示下三角矩阵。
A=GGT,Gy=b,GTx=y
追赶法(Crout分解法)
前提:系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0.公式:以下T表示下三角矩阵,M表示一个单位上三角矩阵。
A=TM,Ty=b,Mx=y
范数
概念
范数是一种对向量和矩阵的“大小”的度量尺度。向量范数
定义2.1 向量范数设∥⋅∥是向量空间Rn上的实值函数,且满足以下条件:
1. 非负性:对任何向量x∈Rn,∥x∥⩾0,∥x∥=0⇔x=0
2. 齐次性:对任何实数α和向量x∈Rn,∥αx∥=|α|∥x∥
3. 三角不等式:对任何向量x,y∈Rn,∥x+y∥⩽∥x∥+∥y∥
则称∥⋅∥是向量空间Rn上的范数,∥x∥为向量x的范数。
常用的向量范数
向量1-范数:∥x∥1=∑i=1n|xi|
向量2-范数:∥x∥2=∑i=1nx2i−−−−−√
向量∞ -范数:∥x∥∞=max1⩽i⩽n|xi|
矩阵范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种量度。定义2.2 矩阵范数
设∥⋅∥是以n阶矩阵为自变量的实值函数,且满足以下条件:
1. 非负性∥A∥⩾0,且∥A∥=0⇔A=0
2. 齐次性∥αA∥=|α|∥A∥,α∈R
3. 三角不等式
和:∥A+B∥⩽∥A∥+∥B∥
积:∥AB∥⩽∥A∥∥B∥
则称∥A∥为矩阵A的范数。
常用的向量范数
设n阶矩阵A=(aij),常用的矩阵范数有:
矩阵1-范数(列范数):∥A∥1=max1⩽j⩽n∑i=1n∣∣aij∣∣
矩阵2-范数(谱范数):∥A∥2=maxλ(ATA)−−−−−−−−−−√
矩阵∞-范数(行范数):∥A∥∞=max1⩽i⩽n∑j=1n∣∣aij∣∣
谱半径
定义2.3 谱半径
设n阶矩阵A的n个特征值分别为λ1,λ2,...λn.称ρ(A)=max1⩽i⩽n|λi|
为矩阵A的谱半径。
性质
ρ(A)⩽∥A∥条件数
概念
由原始数据误差所引起的方程组解的相对误差是否可控制,取决于量∥A∥∥∥A−1∥∥的大小,若其值很大,原始数据的误差对解的影响就可能很大;若它较小,这种影响也就较小.这个量被称为方程组Ax=b或矩阵A的条件数。记为Cond(A)=∥A∥∥∥A−1∥∥.通常称条件数过大的方程组为病态方程组,相应的系数矩阵称为病态矩阵。常用的条件数有Condp(A)=∥A∥p∥∥A−1∥∥p,p=1,2,∞当A为对称矩阵时,有Cond2(A)=|λ1||λn|,λ1和λn分别为A按模最大和最小的特征值相关文章推荐
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