每日一题：Leetcode 53.最大子序和

背（fei）景（hua）：

书接上回，自从张小胖同学成功AC了Leetcode 1.两数之和这道题后，便觉得自己特别牛批。这天，他又信心满满地来到了Leetcode题库，准备大战一番。这时，一行“最长子序列和”突然映入张小胖的眼帘：

题目描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [2,-4,3,-1,2,-4,3],
输出: 4
解释: 连续子数组 [3,-1,2] 的和最大，为 4。

进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

题解：

题目难度：简单
解题思路：
“最长子序列和？”小胖不禁嘴角上扬。要知道，这道题可是一道超级经典的入门题。只见小胖稍加思索，心中便已经有了主意。

//方法一：暴力法 时间复杂度：O（n^3）
func maxSubArray(nums []int) int {
max := -2147483647
var sum int
for l := 0 ; l<len(nums) ; l ++ {
for r := l ; r<len(nums) ; r ++ {
for t := l ; t<=r ; t ++{
sum+=nums[t]
}
if sum > max {
max = sum
}
sum = 0
}
}
return max
}

“既然是求最长子列和，那么我只要列举出主列中的所有子列，并找出所有子列和的最大值不就可以了？”小胖得意地彪呼呼地交了上去。突然，一道光芒刺瞎了小胖的狗眼：

果不其然超时了，时间复杂度高达O（n^3）的暴力算法就是不一般，果然没有经受住Leetcode测评姬的考验 。小胖骂骂咧咧地看着题目中的测试样例，陷入了沉思。

2、-4、3、-1、2、-4、3 //答案4（选3、-1、2）

“我们看到这行数列，确实能够轻松地推出它的最大子列和是4，那么答案是怎么推出来的呢？”小胖边想，边把推理过程写了下来：

首先看到第一个数，是2，2后面是-4，所以如果-4是最优子列的一部分，那么2一定也在其中（答案就增加了）

随后是3，如果3把前面的2和-4加上去，结果是1。这个时候反而比原来的3要小了。所以如果答案含有3，就一定不会加上前面的2和-4。

下一个数是-1。这个数加上前面的3之后增加了数值（变成了2），所以如果答案有-1，辣么绝对还有前面的3。

接下来是2，如果2加上前面的序列（3、-1），辣么它的值变为4。比原先增加了。

然后是-4，如果把-4加上前面的序列（3、-1、2），结果会变成0，比原先的-4大，所以如果-4是答案的一部分，那么前面的三个数也一定是答案的一部分。

最后一个数，也就是3，如果将3加上前面的序列，结果变成了3。最后我们来看一看刚推导的结果，发现4是我们可以得出的最大和，故输出4。

如果针对此题，我们便不难发现以下推论：
第一个数为一个有效序列。如果一个数加上上一个有效序列得到的结果比这个数大，那么该数也属于这个有效序列（接纳这个数进入有效序列）。 如果一个数加上上一个有效序列得到的结果比这个数小，那么这个数单独成为一个新的有效序列（上一个有效序列完全拖后腿，所以直接抛弃掉）。

“推导完毕。“小胖长舒一口气，感叹道：”原来我们的大脑在不知不觉中运用了动态规划的思想。那还等什么，俺滴键盘已经迫不及待了！”说罢小胖哗哗一顿乱敲：

//方法2：动态规划法，时间复杂度O（n）
func maxSubArray(nums []int) int {
if len(nums) < 2 {
return nums[0]
}
var temp int
res := -2147483647
for i := 0 ; i < len(nums); i ++ {
if nums[i] > temp + nums[i] {
temp = nums[i]
} else {
temp = temp+nums[i]
}
if temp > res {
res = temp
}
}
return res
}

终于AC了，小胖露出了欣慰的笑容。

所谓动态规划，就是把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解的过程。在本样例中，我们正是利用了动态规划的思想，把求解长度为7的主列中最大子列和的问题转化为求解一条长度为1的主列中最大子列和的问题，时时刻刻让当前状态的局部子列和处于最优，并不断扩充主列长度，直至长度为7。换句话说，我们如果在第6个数、第5个数…第n个数就停下来的话，那时所求得的最大子列和依然是对于前n个数的最优解！这恰恰说明动态规划思想满足‘最优化原理’和‘无后效性’的特性。

PS：关于题目中所提到的分治法，各位读者朋友有思路了吗？

本文引用博客链接：https://www.luogu.com.cn/blog/Walker-68145/solution-p1115
原题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray

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