第一次打卡，线性回归，softmax，多层感知机

线性回归

假设价格只取决于房屋状况的两个因素，即面积（平方米）和房龄（年），一栋房屋被称为一个样本（sample），其真实售出价格叫作标签（label），用来预测标签的两个因素叫作特征（feature）。特征用来表征样本的特点。
在模型训练中需要用损失函数衡量价格预测值与真实值之间的误差。

当模型和损失函数形式较为简单时，上面的误差最小化问题的解可以直接用公式表达出来。这类解叫作解析解（analytical solution）。然而，大多数深度学习模型并没有解析解，只能通过优化算法有限次迭代模型参数来尽可能降低损失函数的值。这类解叫作数值解（numerical solution）。
在求数值解的优化算法中，小批量随机梯度下降（mini-batch stochastic gradient descent）在深度学习中被广泛使用：先选取一组模型参数的初始值，如随机选取；接下来对参数进行多次迭代，使每次迭代都可能降低损失函数的值。在每次迭代中，先随机均匀采样一个由固定数目训练数据样本所组成的小批量（mini-batch）B，然后求小批量中数据样本的平均损失有关模型参数的导数（梯度），最后用此结果与预先设定的一个正数的乘积作为模型参数在本次迭代的减小量。

学习率: η代表在每次优化中，能够学习的步长的大小
批量大小: B是小批量计算中的批量大小batch size

具体预测的实现步骤可分为：生成数据集，读取数据集，初始化模型参数，定义模型和损失函数，定义优化函数，训练。

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softmax

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softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出o1,o2,o3的计算都要依赖于所有的输入x1,x2,x3,x4，softmax回归的输出层也是一个全连接层。
既然分类问题需要得到离散的预测输出，一个简单的办法是将输出值oi当作预测类别是i的置信度，并将值最大的输出所对应的类作为预测输出。但直接使用输出层的输出有两个问题：
一方面，由于输出层的输出值的范围不确定，我们难以直观上判断这些值的意义。另一方面，由于真实标签是离散值，这些离散值与不确定范围的输出值之间的误差难以衡量。通过输出值的归一化（softmax运算符（softmax operator））能解决以上两个问题。

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多层感知机

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多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。
具体来说，给定一个小批量样本X∈Rn×d，其批量大小为n，输入个数为d。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为h。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为H，有H∈Rn×h。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为Wh∈Rd×h和 bh∈R1×h，输出层的权重和偏差参数分别为Wo∈Rh×q和bo∈R1×q。
我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出O∈Rn×q的计算为H=XWh+bh,O=HWo+bo,也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到O=(XWh+bh)Wo+bo=XWhWo+bhWo+bo.

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为WhWo，偏差参数为bhWo+bo。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。
常用激活函数有ReLU函数，Sigmoid函数，tanh函数等。ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。
在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。
在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。

多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：
H=ϕ(XWh+bh),O=HWo+bo,其中ϕ表示激活函数。

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