本地化差分隐私保护的实现机制（二）

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.csdn.net/Ano_onA/article/details/101152225

      下面来谈谈这篇论文提出的新的解决机制：   

      分段机制： 

      该篇论文提出的第一个改进机制称为分段机制（PM），将     作为输入，并在 中输出扰动值 ，其中：

                                            
       的概率密度函数（pdf）是分段常数函数，如下所示：

                                           

      其中：

                                          

       令 为 的缩写。下图说明了 = 0，  = 0.5和 = 1情况下的 ：

              

       观察可知：

             a. 当 = 0时， 是对称的并且由三“段”组成，其中中心段（即    [ ]）具有较高的概率（比其他两个要高）；

             b. 当 从0增加到1时，中心部分的长度保持不变（因为 ），但是最右边的部分的长度（即     ）减小；

             c. 当 = 1时，右边部分减小到0，    0的情况可以用类似的方式说明。

       以下算法显示了PM的伪代码：

                                             
       假设输入域是 。通常，当输入域为     ，   0时，用户使用PM计算 来扰动 ，所以     ，然后按照上述算法计算出 并将 提交给服务器，其中 表示算法输出的噪声值。可以证明 是 的无偏估计量。上述方法要求用户知道 值。

       这种方法是先将原始输入域扰动至规定输入域，再将扰动系数 和噪声值之积对外发布。
       以下引理确保了上述算法理论的可行性：

       引理1：该算法算法满足-本地差异隐私。另外，给定输入值 ，它会返回一个带有 = （期望）的噪声值 ，以及方差：

                                               
       通过引理1，PM返回一个噪声值 ，其方差最大（即  = 1时）为：

                                               
       下图中的紫色虚线说明了PM作为此函数的最坏情况方差：

                                             

       通过观察可知：

               a. 当  ≥ 1.29时，PM的最坏情况方差明显小于Duchi等人的解；

               b. 当  < 1.29时，PM的最差方差仅略大于后者，其中1.29是Duchi等人解决方案和PM方案在 坐标上的交点。

       可以证明，不管PM的值如何，PM的最坏方差都严格小于Laplace机制。与Laplace机制和Duchi等人的解决方案相比，PM是更可取的选择。
       此外，引理1还表明PM中的 随着 的减少而单调减少，这使得PM在输入数据的分布偏向小幅度值时特别有效。相反，Duchi等人的解决方案产生的噪声方差随 的减小而增加，见下方程：

                                             
       现在来看被数据收集者用来推断所有 的平均值的估计量 。该估计量的方差是 的平均方差的 。

       基于此，以下引理建立了 的精度保证：

       引理2：令 和 。 至少具有(1-β)概率，  。（论文省略了证明）
       备注：

               a. PM与在上一篇中描述的SCDF和Stairease mechanism具有某些相似之处，因为PM中的附加噪声也像SCDF和Stairease mechanism一样遵循分段恒定分布；

               b. 另一方面，PM和SCDF/Stairease mechanism之间存在两个关键差异：

                   a) SCDF和Staircase机制假定无界输入，并因此产生无界输出（即范围为（ ））。 相反，PM既有边界输入（ ）又有边界输出（ ）；

                   b) SCDF/Stairease mechanism的噪声分布由无数个独立于数据的“段”组成，而PM的输出分布由三个“段”组成，其长度和位置取决于输入数据。        

       下一篇讲另一种改动机制。