MATLAB中的多项式的四则运算与求根方法

文章目录

• 1.多项式的加法
• 2.多项式乘法
• 3.多项式除法
• 4.多项式求根及其逆运算
• 4.1 多项式求根
• 4.2 求根的逆运算

1.多项式的加法

当两个多项式的阶次不一样的时候，低阶的多项式用首零填补，使其和高阶多项式有相同的阶次。下面是通用的多项式加法函数示例：

现在为了验证该函数ppadd(a,b)，命令行输入以下内容然后按回车键得：

结果是：
c(x)c(x)c(x)=x4x^4x4+3x33x^33x3+6x26x^26x2+10x10x10x+15

2.多项式乘法

在MATLAB中，函数conv支持多项式的乘法（运算法则为两个数组的卷积）
不妨再命令行输入如下指令：

a=[1 2 3 4 5];
b=[1 2 5 6 7];
c=conv(a,b)

按回车键，得到如下结果：

c=
1     4    12    26    47    62    70    58    35

结果是：c(x)c(x)c(x)=x8x^8x8+4x74x^74x7+12x612x^612x6+26x526x^526x5+47x447x^447x4+62x362x^362x3+70x270x^270x2+58x58x58x+353535

3.多项式除法

在MATLAB中，多项式除法是由函数deconv实现的。在命令行窗口输入：

a=[1 5 15 35 69 100 118 110 72];
b=[1 2 4 6 8];
[c,r]=deconv(a,b)

按回车键得到以下结果：

其中c表示商的系数，而r 表示余数，即：
x8+5x7+15x6+35x5+69x4+100x3+118x2+110x+72x4+2x3+4x2+6x+8\frac{x^8+5x^7+15x^6+35x^5+69x^4+100x^3+118x^2+110x+72}{x^4+2x^3+4x^2+6x+8}x4+2x3+4x2+6x+8x8+5x7+15x6+35x5+69x4+100x3+118x2+110x+72​=x4+3x3+5x2+7x+9x^4+3x^3+5x^2+7x+9x4+3x3+5x2+7x+9

4.多项式求根及其逆运算

4.1 多项式求根

所谓多项式求根，即求出多项式为0的值。MATLAB中提供特定函数roots求解一个多项式的根。
例如：求解多项式3x4−10x3+15x+1000=03x^4-10x^3+15x+1000=03x4−10x3+15x+1000=0的x的值
在命令行输入以下指令：

p=[3 -10 0 15 1000];
r=roots(p)

按回车键得到以下结果：

4.2 求根的逆运算

在MATLAB中，无论是多项式还是它的根都是以向量的形式存储，按照MATLAB的规定，多项式是行向量，根是列向量。因此，当我们给出一个多项式的根时，MATLAB也可以构造出相应的多项式。通常，我们调用poly函数，如下所示：
在命令行输入：

c=[4.0283+2.8554i; 4.0283-2.8554i; -2.3616+2.8452i; -2.3616-2.8452i];
p=poly(r)

按回车键输出结果得：

这里需要注意，由于MATLAB无隙处理复数，当用根重组多项式时，如果有一些根是复根（即有虚部）。由于截断误差，poly的结果会有一些小的虚部。消除假的虚部，我们只需要用real函数抽取实部即可。