跳表的设计思路，值得每一个程序员学习

学习《数据结构与算法之美》中的第 17 节 [为什么redis一定要用跳表来实现有序集合]后，觉得很有价值，以自己的理解整理出下文，分享给爱学习的你，希望你可以看懂。

上篇文章二分法解决妹子遇到的难题 介绍了二分查找算法法的强大之处。二分查找算法之所以能达到 O(logn) 这样高效的一个重要原因在于它所依赖的数据结构是数组，数组支持随机访问一个元素，通过下标很容易定位到中间元素。而链表是不支持随机访问的，只能从头到尾依次访问。但是数组有数组的局限性，比如需要连续的内存空间，插入删除操作会引起数组的扩容和元素移动，链表有链表的优势，链表不需要先申请连续的空间，插入删除操作的效率非常高。在很多情况下，数据是通过链表这种数据结构存储的，如果是有序链表，真的就没有办法使用二分查找算法了吗？

实际上对有序链表稍加改造，我们就可以对链表进行二分查找。这就是我们要说的跳表。下面我们来看一下，跳表是怎么跳的。

上图是一个简单的有序的单链表，如果要查找某个数据，只能从头至尾遍历链表，查找到值与给定元素时返回该结点，这样的查询效率很低，时间复杂度是为O(n)。

假如对链表进行改造，先对链表中每两个节点建立第一级索引，再对第一级索引每两个节点建立第二级索引。如下图所示：

对于上图中的带二级索引的链表中，我们查询元素 16，先从第二级索引查询 1 -> 7->13，发现16大于13 ，然后通过 13 的 down 指针找到第一级索引的 17，发现 16 小于17 ，再通过13 的 down 指针找到链表中的 16，只需要遍历 6 个节点就完成 16 的查找。如果在单链表中直接查找 16 的话，只能顺序遍历，需要遍历 10 个节点，是不是效率上有所提升呢，由于数据量较小，遍历 10 个节点到遍历 6 个节点你可能觉得没有提升多少性能，那么请看下图：

从图中我们可以看出，原来没有索引的时候，查找 62 需要遍历 62 个结点，现在只需要遍历 11 个结点，速度是不是提高了很多？所以，当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。

这种带多级索引的链表，就是跳表。，是不是很像数据库中的索引？

跳表有多快？

单链表的查找一个元素的时间复杂度为O(n)，那么跳表的时间复杂度是多少？

假如链表中有 n 个元素，我们每两个节点建立一个索引，那么第 1 级索引的结点个数就是 n/2 ，第二级就是 n/4，第三级就是 n/8, 依次类推，也就是说第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那么第k级索引的节点个数为 n 除以 2 的 k 次方，即 n/(2^k)。

假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2^h) = 2，得到 h=log2n - 1，包含原始链表这一层的话，跳表的高度就是 log2n，假设每层需要访问 m 个结点，那么总的时间复杂度就是O(m*log2n)。而每层需要访问的 m 个结点，m 的最大值不超过 3，这里为什么是 3 ，可以自己试着走一个。

因此跳表的时间复杂度为O(3log2n) = O(log2n)

跳表有多占内存？

天下没有免费的午餐，时间复杂度能做到 O(logn) 是以建立在多级索引的基础之上，这会导致内存占用增加，那么跳表的空间复杂度是多少呢？

假如有 n 个元素的链表，第一级索引为 n/2 个，第二级为 n/4 个，第三级为 n/8 个，…，最后一级为 2 个。这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？

假如每 3 个节点抽取一个作为索引，同样的方法，可以计算出空间复杂度为 O(n/2) ,已经节约一半的存储空间了。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

跳表如何实现

跳表这种拿空间换时间的思想非常巧妙。那么如何编程实现一个跳表的数据结构呢？

其实，知道与践行之间隔着巨大的鸿沟，知道那么多的算法，可是仍写不出牛逼的代码。还是要多写多练，不然就会被说 talk is cheap,show me the code。

编码之前，应该思考一下跳表应支持的功能：
1、插入一个元素
2、删除一个元素
3、查找一个元素
4、查找一个区间的元素
5、输出有序序列

其实 redis 中有序集合支持的核心操作也就是这几个。这里说下为什么 redis 使用跳表而不使用红黑树。

1、红黑树在查找区间元素的效率没有跳表高，其他操作时间复杂度一致。
2、相比红黑树，跳表的实现还是简单的，简单就意味着不容易出错，bug 少，稳定，易读，易维护。
3、跳表更加灵活，通过改变索引构建策略，有效平衡效率和内存消耗。

0、跳表的数据结构 （python)

链表结点

class ListNode:
def __init__(self, data = None):
self._data = data
self._forwards = []   # 存放类似指针/引用的数组，占用空间很小

这里的 _data 是 ListNode 的变量，前而加 _data 表示这是一个私有变量，虽然你能在类的外部修改它，但你最好不要这样做。（Python 在编码规范上并不阻止你做一些破坏（灵活），全靠你自觉）
_data 这里是做比较用的，在实际应用中，你可以这样写：

class ListNode:
def __init__(self, key=None, value  = None):
self._key = key
self._value = value
self._forwards = []   # 存放类似指针/引用的数组，占用空间很小

这里的 _key 就相当于上述的 _data。

跳表的类

class SkipList:

_MAX_LEVEL = 4

def __init__(self):
self._level_count = 1
self._head = ListNode()
self._head._forwards = [None] * self._MAX_LEVEL

def find(self, value):
'''
查找一个元素，返回一个 ListNode 对象
'''
pass

def find_range(self, begin_value, end_value) :
'''
查找一个元素，返回一组有序 ListNode 对象
'''
pass

def insert(self, value):
'''
插入一个元素，返回 True 或 False
'''
pass

def delete(self, value):
'''
删除一个元素，返回 True 或 False
'''
pass

def _random_level(self, p = 0.5):
'''
返回随机层数
'''
pass

def pprint(self):
'''
打印跳表
'''
pass

跳表实际上长这样：

上图中 0 代表的是原始链表的指针，姑且按指针来理解，虽然Python中并没有指针的概念。1 代表第一层索引的指针，2 代表第二层索引，依次类推。这样设计的好处是一个节点在内存中只存放一次，而多存放几个指针并不占用太多存储空间。

1、插入一个元素

在链表中插入一人元素非常简单，但在跳表中，还要维护索引，如果不维护索引，两个索引节点下的数据可能会变得非常多，极端情况下，跳表会退化成单链表，查找一个结点的时间复杂度退化为O(n)，为了解决这个问题，采用随机数的方法，每次在 0 到 最大层数 m 之间选一个随机数 k，每次插入结点时同时更新 0 到 k 之间的索引信息。

def _random_level(self, p = 0.5):
level = 1
while random.random() < p and level < self._MAX_LEVEL:
level += 1
return level

插入节点要判断节点是否已经存在跳表中。

def insert(self, value):
'''
插入一个结点，成功返回 True，失败返回 False
'''
level = self._random_level()
if self._level_count < level: self._level_count = level
new_node = ListNode(value)
new_node._forwards = [None] * level
update = [self._head] * level     # update 保存插入结节的左边的节点

p = self._head
for i in range(level - 1, -1, -1):
while p._forwards[i] and p._forwards[i]._data < value:
p = p._forwards[i]
if p._forwards[i] and p._forwards[i]._data == value:
#说明已经存储该节点，不需要再插入
return False
update[i] = p     # 找到插入的位置

for i in range(level):
new_node._forwards[i] = update[i]._forwards[i]   # new_node.next = prev.next
update[i]._forwards[i] = new_node     # prev.next = new_node
return True

3、删除一个元素

删除操作是插入操作的逆操作，先找到待删除的元素，再删除之。

def delete(self, value):
update = [None] * self._level_count
p = self._head
for i in range(self._level_count - 1, -1, -1):
while p._forwards[i] and p._forwards[i]._data < value:
p = p._forwards[i]
update[i] = p

if p._forwards[0] and p._forwards[0]._data == value:
for i in range(self._level_count - 1, -1, -1):
if update[i]._forwards[i] and update[i]._forwards[i]._data == value:
update[i]._forwards[i] = update[i]._forwards[i]._forwards[i]     # Similar to prev.next = prev.next.next
return True
else:
return False

4、查找一个元素

查找操作从最高层的索引开始，逐步向下层查找，类似于二分查找算法，时间复杂度为O(logn)，非常高效。假如有下面的跳表

head 3: ->27->33->39
head 2: ->12->27->33->39
head 1: ->3->6->12->18->21->24->27->30->33->39
head 0: ->3->6->9->12->18->21->24->27->30->33->36->39

如果查找 33 ，则从最高层 head 3 开始，遍历 27，33 两个结点就返回查找成功。如果查找 36 则遍历 27，33，39，39，39，36 共 6 个结节就返回查找成功。下面是代码实现：

def find(self, value):
'''
查找一个元素，返回一个 ListNode 对象
'''
p = self._head
for i in range(self._level_count - 1, -1, -1):   # Move down a level
while p._forwards[i] and p._forwards[i]._data < value:
p = p._forwards[i]   # Move along level
if p._forwards[i] and p._forwards[i]._data == value:
return p._forwards[i]
#到这一步，说明没有找到
return None

5、查找一个区间的元素。

这一步在上一步的基础上写非常简单，先查找到区间的小元素，然后在有序链表上顺序遍历，直到元素比区间的大元素大时在终止遍历即可。

def find_range(self, begin_value, end_value) :
'''
查找一个元素，返回一组有序 ListNode 对象
'''
p = self._head
begin = None
for i in range(self._level_count - 1, -1, -1):   # Move down a level
while p._forwards[i] and p._forwards[i]._data < begin_value:
p = p._forwards[i]   # Move along level
if p._forwards[i] and p._forwards[i]._data >= begin_value:
begin = p._forwards[i]

if begin is None:
return None #没有找到
else:
result = []
while begin and begin._data <= end_value :
result.append(begin)
begin = begin._forwards[0]
return result

6、遍历输出跳表

这一步没难度，从顶层往下遍历即可，就两个 while 循环搞定

def pprint(self):
'''
打印跳表
'''
skiplist_str = ''
i = self._level_count -1
while i >= 0:
p = self._head
skiplist_str = f'head {i}: '
while p:
if p._data:
skiplist_str += '->' + str(p._data)
p = p._forwards[i]
print(skiplist_str)
i -= 1

验证一把

if __name__ == "__main__":
l = SkipList()
for i in range(0,40,3):
l.insert(i)
l.pprint()
if l.delete(15):
print("delete 15 success.")
l.pprint()
if not l.delete(16):
print("delete 16 fail.")
l.pprint()
print("find 9 : ",l.find(9)._data)
print("find data between 4 and 10:")
for d in l.find_range(4,10):
print(d._data,end ='->')

执行结果如下所示：

head 3: ->27->33->39
head 2: ->12->27->33->39
head 1: ->3->6->12->15->18->21->24->27->30->33->39
head 0: ->3->6->9->12->15->18->21->24->27->30->33->36->39
delete 15 success.
head 3: ->27->33->39
head 2: ->12->27->33->39
head 1: ->3->6->12->18->21->24->27->30->33->39
head 0: ->3->6->9->12->18->21->24->27->30->33->36->39delete 16 fail.
head 3: ->27->33->39
head 2: ->12->27->33->39
head 1: ->3->6->12->18->21->24->27->30->33->39
head 0: ->3->6->9->12->18->21->24->27->30->33->36->39find 9 :  9
find data between 4 and 10:
6->9->

如果仍看不懂，就开启你的 debug，分析每一个变量的变化状态 。

其实写不出实现跳表的代码也无妨，其实每一种语言都已经实现了跳表，只要掌握其核心思想，直接拿来用就可以了。

下面是 python 关于跳表的三方库，你不需要重复造轮子了。
1、skiplist （纯 C 编写）
2、pyskip 纯Python
3、py-skiplist 纯Python

关注微信公众号 somenzz ，获取最新原创 Python 技术文章。