[Leetcode]279.完全平方数

最开始的时候，我想到的动态方程很简单，就是

dp[i]=min(dp[i],dp[i-平方数]+1)

其中

i-平方数

dp[5]=min(dp[5-1^2]+1,dp[5-2^2]+1,dp[5])

这表示5可以如下组合：

dp[5] = min(所有组成4的完全平方数+完全平方数1即dp[4]+1, 所有组成1的平方数+完全平方数4即dp[1]+1)

这个方程在初始化dp[0] ,dp[1],dp[2] 和其他的dp为一个大值之后就非常简单了，只需往

MAXN

原始解法：

class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
const int MAXN=10000;
int dp[MAXN+1];
memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
dp[0]=0;
dp[1]=1;
/*1*1=1*/
dp[2]=2;
/*1*1+1*1=2*/
dp[3]=3;
/*1*1+1*1+1*1=3*/
dp[4]=1;
/*2*2=4*/
for(int i=5;i<=MAXN;i++){
for(int j=1;i-j*j>=0;j+=1){
dp[i]=min(dp[i],dp[i-j*j]+1);
}
}
return dp
;
}
};

这个算法虽然非常容易实现但效率非常的低，我们依然尝试这个方程，换一个方向去实现。

这次使用了

vector

dp

for (int j=1; i+j*j <= n; j++)

我们通过正向进行遍历算法方便理解。

代码在执行上比原来的代码要快，但是还是没有改变算法的O(nlog n)的效率

class Solution {
public:
const int MAXN=0x3f3f3f3f;
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n+1, MAXN);
dp[0] = 0;
for (int i=0; i<=n; i++)
for (int j=1; i+j*j <= n; j++) {
dp[i+j*j] = min(dp[i+j*j], dp[i] + 1);
}
return dp.back();
}
};

我们看一下最高效的解法，这种解法没有用到动态规划而是用数学的方法解决的。我们枚举答案后发现每一个正数必由1-4个完全平方数，没有超过4。这在数学上又叫做[四平方定理][https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9B%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%AE%9A%E7%90%86]

即满足四数平方和定理的数n（一定由四个数构成），必定满足n=4^a(8b+7)

这样我们可以通过定理快速写出如下代码。

class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
// 去除4因子
while (n % 4 == 0)
n /= 4;
// 若除8余7，满足四平方定理，必由4个完全平方数组成
if (n % 8 == 7)
return 4;
// 再尝试将其拆成两个或一个完全平方数
for (int i=0; i*i <= n; i++) {
int b = sqrt(n - i*i);
if (i*i + b*b == n)
return !!i + !!b;
}
return 3;
}
};