图论 1.1基本概念

一个图 G 定义为一个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中 （1）V是一个非空集合，称为顶点集或点集，其元素称为顶点或点； （2）E是由V中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在 E 中可出现多次。符号说明: 图G 的顶点集也记为V(G), 边集也记为E(G)。图G 的顶点数（或阶数）和边数可分别用符号 n(G) (或 |V(G)| ) 和 m(G)表示。
* 点集与边集均为有限集合的图称为有限图，本书只讨论有限图。只有一个顶点而无边的图称为平凡图。边集为空的图称为空图。
* 既没有环也没有重边的图称为简单图。其他所有的图都称为复合图。

图的同构 设有两个图G1 = (V1, E1)和G2 = (V2, E2)，若在其顶点集合之间存在双射，即存在一一对应的关系，使得边之间有如下的关系：设图同构的几个必要条件：① 顶点数相同；② 边数相同；③ 度数相等的顶点个数相同。定义 设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。完全图： 任意两点均相邻的简单图称为完全图，在同构意义下，n 阶完全图只有一个，记为Kn。例如K2, K3, K4分别为如下图所示。具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）： 是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集 X 和 Y ，使得每条边的一个端点在 X 中，另一个端点在Y 中。完全偶图： 是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中 X的每个顶点与 Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为 Km,n简单图G 的补图: 设 G =（V, E），则图 H =（V，E1\E）称为G 的补图，记为 , 其中集合相关术语和记号图G的顶点的最小度图G的顶点的最大度奇(偶)点: 奇(偶)数度的顶点k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。证明在任意一次集会中和奇数个人握手的人的个数为偶数个。推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数。 证明 设G是k-正则图，若k为奇数，则由推论1知正则图G的点数必为偶数。度序列: 一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数 组 (d1, d2,…, dn)称为G的度序列 。它是刻画图的特征的重要“拓扑不变量”。正整数k的划分: 是指将k表示为若干正整数的和,或指一个无序正整数组，组中正整数的和是k。图划分: 正整数k的一个划分(d1, d2,…, dn)能成为某简单图的度序列的k的划分.显然，若正整数 k 有图划分，则k 必须是偶数 若存在一个简单图G，以它为度序列，则称这个数组是可图的。关于图序列，主要研究的3个问题：（1）存在问题（什么样的整数组是图序列？）已解决；(2) 计数问题（一个图序列对应多少不同构的图？）解决得不好；(3) 构造问题（如何画出图序列对应的所有不同构图？）没有解决。