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学最小生成树的时候一直有很多疑问：
比如克鲁斯卡尔算法：为啥不能有回路？为啥从最小的边开始找？
比如普利姆算法：随意选起点不会影响结果么？起点选的那条最短边就一定是最小树上的？

一、克鲁斯卡尔算法思考

1. 为啥不能有回路？

• 原因1：如果有回路那边就是N条了，而不是N-1了，那为啥是N-1呢？因为一个边能连两个定点，N个定点不留孤岛肯定是N-1条边连起来；
• 原因2：假设回路构成的路径总和最短，那我们去掉回路中一条最长的，那剩下的是不更短？而且其余顶点还保持连通？所以有回路一定不是最短；

2. 为啥从最小的边开始找？

因为克鲁斯卡尔就是以边为核心，目的就是从小到大选N-1条最短的边，这样构成的路径肯定也是最短的（当然构成回路的边不能去选）；

二、普利姆算法思考

1. 随意选择起点会影响结果么？

选择起点时，我们假设其余的定点都已经连通了（因为他们迟早要连通的），那我们现在随意算的起点，再选一个最短路径是不就已经是整个图的最优选择了呢？

2. 起点选的那条最短边就一定是最小树上的？

同上

三、概念回顾

1. 树（Tree）

如果一个无向连通图中不存在回路，则这种图称为树。

2. 生成树 （Spanning Tree）

无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。
生成树是连通图的极小连通子图。这里所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一条回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。

3. 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）

或者称为最小代价树Minimum-cost Spanning Tree:对无向连通图的生成树，各边的权值总和称为生成树的权，权最小的生成树称为最小生成树。

构成生成树的准则有三条：
<1> 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树。
<2> 必须使用且仅使用n-1条边来连接网络中的n个顶点
<3> 不能使用产生回路的边。

构造最小生成树的算法主要有：克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法他们都遵循以上准则。

4. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

根据边的加权值以递增的方式，一次找出加权值最低的边来构建最小生成树，而且规定：每次添加的边不能造成生成树有回路，知道找到N-1个边为止。

5. 普利姆（Prims）算法

以每次加入一个的临界边来建立最小生成树，直到找到N-1个边为止。其规则为：以开始时生成树的集合（集合U）为起始的定点，然后找出与生成树集合邻接的边（集合V）中，加权值最小的边来建立生成树，为了确定新加入的边不会造成回路，所以每一个新加入的边，只允许有一个顶点在生成树集合中，重复执行此步骤，直到找到N-1个边为止。

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