【leetcode】字符串的常见算法问题总结（LIS、LCS、LCP、LPS、ED、KMP）

字符串有很多比较经典的算法问题，例如：LIS（最长递增子序列）、LCS（最长公共子序列、最长公共子串）、LCP（最长公共前缀）、LPS（最长回文子序列、最长回文子串）、ED（最小编辑距离，也叫 “Levenshtein 距离”）、 KMP（一种字符串匹配的高效算法）。

上面列举的经典问题，在 Leetcode 中都有对应题型，这些也是笔试面试经常会遇到的基本题型。

下面来详细讲解这些经典算法问题：

LIS（Longest Increasing Subsequence）

LIS 是最长递增子序列（Leetcode 300），不要求子序列连续。其实，连续的情况也是一个经典的问题（称为 “Longest Continuous Increasing Subsequence”，见 Leetcode 674）。下面对这两种情况分别进行讲解。先来看 LIS，这个问题（Leetcode 300）的描述如下：

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.
Example:
Input: [10,9,2,5,3,7,101,18]
Output: 4
Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.
Note:
1.There may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.
2.Your algorithm should run in O(n2n^2n2) complexity.
Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

这个题目的思路不难，用动态规划是很容易的。令 dp[iii] 表示从数组开始到第 i+1i+1i+1 个元素的最大递增子序列长度（之所以定义第 i+1i+1i+1 个元素， 是因为数组中第一个元素序号为 0，所以第 i+1i+1i+1 个元素的序号为 iii）。设数组为 nums，则它的第 i+1i+1i+1 (即序号为 iii ) 的元素为 nums[iii]，由于要考虑到 “递增”，所以需要比较 nums[iii] 与它之前的所有元素的大小，所以需要再增加一个维度 dp[iii][jjj]，要大于它前面的某些元素，那么它对应的 dp[iii] 会基于前面的元素对应的 dp 上增加1。举个例子， nums = [1, 3, 5, 2, 4, 7, 6]，容易知道：dp[0] = 1，dp[1] = 2，dp[2] = 3，dp[3] = 2，在判断 dp[4] 的时候，由于 nums[4] 比前面的元素 1、3、2 都要大，那么当 jjj 遍历到元素 1 时，dp[4] = dp[0]+1 = 2，当 jjj 遍历到元素 3 时，dp[4] = dp[1]+1 = 3，当 jjj 遍历到元素 2 时，dp[4] = dp[3]+1 = 3，而由于是求 “最长递增子序列”，所以应该取所有 dp[4] 中最大的作为最后 dp[4] 的取值，即 dp[4] = max(dp[4], dp[jjj]+1) （jjj = 0, 1, 3）。

Python 代码如下：

def LIS(nums):
if len(nums)==0:
return 0
dp = [1 for _ in range(len(nums))]
for i in range(1,len(nums)):
for j in range(i):
if nums[i]>nums[j]:
dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)
return max(dp)

[/code]

上面这个解法是 O(n2)O(n^2)O(n2) 的时间复杂度，在题目中已经明确指出还有复杂度 O(nlogn)O(n\text{log}n)O(nlogn) 的算法，下面给出它的思路：

以 nums = [3,5,6,2,4,5,7] 作为例子，从第一个元素 3 开始，逐步添加后续元素，看 “最长递增序列” 的长度变化，记录如下：
(1) 当第一个元素时， LCS 的列表为 [3]；
(2) 当加入第二个元素时，LCS 的列表为 [3, 5]，保留原有的一个长度的列表：
长度为1：[3]
长度为2：[3,5]
(3) 当加入第三个元素时，LCS 的列表为 [3, 5, 6]，列表情况为：
长度为1：[3]
长度为2：[3, 5]
长度为3：[3, 5, 6]
(4) 当加入第四个元素时，元素 2 比任何一个元素都小，故只能生成长度为 1 的递增序列，由于比之前长度为 3 的元素要小，故将其替换掉，得到列表情况如下：
长度为1：[2]
长度为2：[3, 5]
长度为3：[3, 5, 6]
(5) 当加入第五个元素时，元素 4 只比上面长度为 1 里的元素大，得到 [3, 4]，由于此时得到的长度为 2 的 [3, 4] 的尾端元素 4 比之前长度为 2 的 [3, 5] 的尾端元素 5 要小，故替换掉之前的长度为 2 的列表，得到的列表情况如下：
长度为1：[2]
长度为2：[3, 4]
长度为3：[3, 5, 6]
(4) 当加入第六个元素时，元素 5 比长度为 2 的 [3, 4] 的尾端大，比长度为 3 的 [3, 5, 6] 的尾端小，故长度为 3 的列表被替换成 [3, 4, 5]，列表情况如下：
长度为1：[2]
长度为2：[3, 4]
长度为3：[3, 4, 5]
(4) 当加入第七个元素时，元素 7 比长度为 3 的 [3, 4, 5] 的尾端大，而且此时长度 3 是最大长度，故会生成新的长度为 4 的 [3, 4, 5, 7]，列表情况如下：
长度为1：[2]
长度为2：[3, 4]
长度为3：[3, 4, 5]
长度为4：[3, 4, 5, 7]
所以最后的 LIS 的长度为 4。

上面的思路也很简单，相当于每次添加一个新的元素时，将这个元素与已有的所有列表中的尾端元素进行比较，如果它比最长的列表的尾端元素大，则以这个元素为尾端元素来新增加一个更长的列表，如果它介于长度为 m 和 m+1 的尾端元素大小之间，则在长度为 m 的列表尾端上增加上这个元素变成 m+1 的列表并替换掉之前的 m+1 的列表。

Python 代码如下：

# 后缀数组解法
def LIS(nums):
tails = [0 for _ in range(len(nums))]  # 构建尾部数组(初始化)
max_len = 0
for x in nums:
i, j = 0, max_len  # 二分查找的两个指针
while i < j:
m = (i + j) // 2  #  计算首尾指针对应的中间指针
if tails[m] < x:
i = m + 1 # 当查询的值比 x小时，改变首指针
else:
j = m     # 当查询的值不比 x小时，改变尾指针
tails[i] = x  # 二分查找到准确的 i后，用 x替换掉其尾部
max_len = max(i + 1, max_len)
return max_len

[/code]

下面再来看子序列连续的情况，即 “Longest Continuous Increasing Subsequence” (LCIS)。问题描述如下：

Given an unsorted array of integers, find the length of longest continuous increasing subsequence (subarray).
Example 1:
Input: [1,3,5,4,7]
Output: 3
Explanation: The longest continuous increasing subsequence is [1,3,5], its length is 3.
Even though [1,3,5,7] is also an increasing subsequence, it’s not a continuous one where 5 and 7 are separated by 4.
Example 2:
Input: [2,2,2,2,2]
Output: 1
Explanation: The longest continuous increasing subsequence is [2], its length is 1.
Note: Length of the array will not exceed 10,000.

这个 LICS 问题相对于上面的 LIS 而言，就非常简单了。对于数组 nums，LICS 问题只需要比较 nums[i] 与它前一个数 nums[i-1] 的大小就可以了。

Python 代码如下：

def LCIS(nums):
if len(nums)==0:
return 0
dp = [1]*len(nums)
for i in range(1,len(nums)):
if nums[i]>nums[i-1]:
dp[i]=dp[i-1]+1
return max(dp)

[/code]

LCS（Longest Common Subsequence、Longest Common Substring）

对于LCS，这是两个问题。一个是求字符串的最长公共子序列，一个是求字符串的最长公共子串。先来讲解最长公共子串。

比如两个字符串， s1 为 “abcddeeb”，s2 为 “ababcddeb”，那么要计算公共子串长度，最容易想到的是动态规划的方法。令 dp[i][j] 为 s1 前 i 个字符和 s2 前 j 个字符构成的子字符串的最长公共子串的长度。那么，显然，当 s1[i] == s2[j] 时，它的公共子串的长度 dp[i][j] 肯定比 dp[i-1][j-1] 要大 1，这个公式就是解这个题的核心。

Python 代码如下：

def LCS(s1, s2):
len1 = len(s1); len2 = len(s2)
max_len = 0
dp = [[0 for _ in range(len2)] for _ in range(len1)]
for i in range(len1):
for j in range(len2):
if s1[i] == s2[j]:
if i>0 and j>0:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = 1   #  边界情况
if max_len < dp[i][j]:
max_len = dp[i][j]
return max_len

[/code]

再来看最长公共子序列。子序列与子串的不同在于它并不要求连续，只要有字符是公共的就算一个。其中，核心公式 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 没变，但增加了 s1[i] 与 s2[j] 不相等的情况，此时有 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，也就是说，。

Python 代码如下：

def LCS(s1, s2):
# 做了 padding 处理，使得包含空串的情况（自含了边界情况）
dp = [[0 for _ in range(len(s2)+1)] for _ in range(len(s1)+1)]
for i in range(1,len(s1)+1):
for j in range(1,len(s2)+1):
if s1[i-1] == s2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[len(s1)][len(s2)]

[/code]

LCP（Longest Common Prefix）

这个问题（Leetcode 14）的描述如下：

Write a function to find the longest common prefix string amongst an array of strings.
If there is no common prefix, return an empty string “”.
Example 1:
Input: [“flower”,“flow”,“flight”]
Output: “fl”
Example 2:
Input: [“dog”,“racecar”,“car”]
Output: “”
Explanation: There is no common prefix among the input strings.
Note:
All given inputs are in lowercase letters a-z.

这个问题比较简单，只需要统计两个字符串前面公共字符的个数就可以了。时间复杂度是 O(nnn)。

Python 代码如下：

def LCP(strs):
lens = list(map(len, strs))
if lens==[]:  #  如果strs中没有单词，则肯定没有前缀，返回''
return ''
min_lens = min(lens)  # 取最小长度的单词的对应长度作为循环长度
prefix = ''
for i in range(min_lens):
char = list(map(lambda s:s[i],strs)) # 依次取每个单词的第i个字符
if char==[char[0]]*len(strs): # 如果所有单词的第i个字符相同，就存入prefix
prefix+=char[0]
else:     # 当出现有不相同的字符时，就跳出循环
break
return prefix

[/code]

LPS（Longest Palindrome Subsequence、Longest Palindrome Substring）

LPS 也有两个问题，一个是最长回文子序列（Leetcode 516），一个是最长回文子串（Leetcode 5）。下面先讲解最长回文子序列，其问题如下：

Given a string s, find the longest palindromic subsequence’s length in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.
Example 1:
Input: “bbbab”
Output: 4
One possible longest palindromic subsequence is “bbbb”.
Example 2:
Input: “aaabcdbcb”
Output: 5
One possible longest palindromic subsequence is “bcdcb”.

Python 代码如下：

def LPS(s):
if s==s[::-1]:
return len(s)
# dp[i][j] 表示s[i..j]中的最大回文长度
dp = [[0 for _ in range(len(s))] for _ in range(len(s))]
for i in range(len(s)):
dp[i][i] = 1  # 单个字符肯定是回文(动态规划的base条件)
for l in range(1,len(s)+1):  # s[i..j]的长度范围从 1到 len(s)
for i in range(len(s)-l+1): # 确定s[i..j]的长度为l后，i的取值最大为len(s)-l
j = i+l-1   # 因为s[i..j]的长度为l，所以j-i应该为 l-1
if i<j:
if s[i] == s[j]:
dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2
else:
dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])
return dp[0][len(s)-1]

[/code]

另一个问题是最长回文子串（Leetcode 5），这个问题相对之前的要简单许多，当然它的解法也有很多（可参考：最长回文子串（Longest Palindromic Substring））。下面先给出这个问题的描述，然后再用三种方法来解这个问题。问题描述如下：

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.
Example 1:
Input: “babad”
Output: “bab”
Note: “aba” is also a valid answer.
Example 2:
Input: “cbbd”
Output: “bb”

下面通过三种方法来解这个问题。

先考虑动态规划方法，与之前的最长回文子序列类似。

Python 代码如下：

def LPS(s):
max_len = 1 # 最长回文子串长度
start = 0 # 最长回文子串起点
if s==s[::-1]:
return s
# dp[i][j] 表示s[i..j]中的最大回文子序列长度
dp = [[0 for _ in range(len(s))] for _ in range(len(s))]
for l in range(1,len(s)+1):  # s[i..j]的长度范围从 1到 len(s)
for i in range(len(s)-l+1): # 确定s[i..j]的长度为l后，i的取值最大为len(s)-l
j = i+l-1   # 因为s[i..j]的长度为l，所以j-i应该为 l-1
if i==j:
dp[i][j] = True  # 单个字符肯定是回文(动态规划的base条件)
elif j-i==1:
dp[i][j] = (s[i]==s[j])
else:
dp[i][j] = ((s[i]==s[j]) and dp[i+1][j-1])
if(dp[i][j] and (max_len<j-i+1)):
max_len = j-i+1
start = i
return s[start:start+max_len]

[/code]

上面的解法时间复杂度是 O(n2n^2n2)，在效率上并不高效，下面来介绍两种时间复杂度为 O(nnn) 的解法。

Python 代码如下：

def longestPalindrome(s):
max_len = 0   # 最长回文子串长度
start = 0   # 最长回文子串起点
for i in range(len(s)):
if i - max_len >= 0 and s[i-max_len:i+1] == s[i-max_len:i+1][::-1]:
start = i - max_len
max_len += 1
if i - max_len >= 1 and s[i-max_len-1:i+1] == s[i-max_len-1:i+1][::-1]:
start = i - max_len -1
max_len += 2
return s[start:(start+max_len)]

[/code]

另外一种时间复杂度为 O(nnn) 的算法是 Manacher 算法。

Python 代码如下：

def Manacher(s):
s='#'+'#'.join(s)+'#'  # 字符串首尾和中间都插入字符'#'
RL=[0 for _ in range(len(s))] #  RL是回文半径数组
MaxRight=0
Pos=0
Maxlen=0
for i in range(len(s)):
if i<MaxRight:
RL[i]=min(RL[2*Pos-i],MaxRight-i)
else:  #i在maxright右边，以i为中心的回文串还没扫到，此时，以i为中心向两边扩展
RL[i]=1 #RL=1：只有自己
#以i为中心扩展，直到左！=右or达到边界(先判断边界)
while i-RL[i]>=0 and i+RL[i]<len(s) and s[i-RL[i]]==s[i+RL[i]]:
RL[i]+=1
#更新Maxright pos:
if RL[i]+i-1>MaxRight:
MaxRight=RL[i]+i-1
Pos=i
#更新最长回文子串的长;
Maxlen=max(Maxlen,RL[i])
s=s[RL.index(Maxlen)-(Maxlen-1):RL.index(Maxlen)+(Maxlen-1)]
s=s.replace('#','')
return s

[/code]

ED（Edit Distance）

最小编辑距离，又称 Levenshtein 距离，它是指两个字符串之间通过增、删、替换(改)三种变换能够使字符串相同的最小编辑次数，用来衡量两个字符串的字符距离（每一次增、删、替换，都算作距离为1）。问题（Leetcode ）描述如下：

Given two words word1 and word2, find the minimum number of operations required to convert word1 to word2.
You have the following 3 operations permitted on a word:
1.Insert a character
2.Delete a character
3.Replace a character
Example:
Input: word1 = “intention”, word2 = “execution”
Output: 5
Explanation:
intention -> inention (remove ‘t’)
inention -> enention (replace ‘i’ with ‘e’)
enention -> exention (replace ‘n’ with ‘x’)
exention -> exection (replace ‘n’ with ‘c’)
exection -> execution (insert ‘u’)

Python 代码如下：

def minDistance(word1, word2):
dp = [[0 for _ in range(len(word2)+1)] for _ in range(len(word1)+1)]
for i in range(len(word1)+1):
for j in range(len(word2)+1):
if i==0:
dp[i][j] = j
if j==0:
dp[i][j] = i
if i !=0 and j!=0 and word1[i-1] == word2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
if i !=0 and j!=0 and word1[i-1] != word2[j-1]:
dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+1
return dp[len(word1)][len(word2)]

[/code]

KMP（D.E.Knuth，J.H.Morris，V.R.Pratt）

关于 KMP 算法是做什么的，以及 KMP 算法的原理这些基本问题，可以参考这两篇文章：[1] 和 [2]。下面主要给出 KMP 算法的实现过程以及代码：

def strStr(self, strings, strs):
# strings 是需要匹配的串，而 strs 是模式串
# KMP算法的核心是公式：若i为恰不匹配序号，则下一步匹配为 strs[next[i]]
# 这个next数是针对模式串而言的，通过计算最大公共前后缀来得到 next 数组
# 举例如下：
# 比如模式串为 strs=“ABCABEFAC”，长度为9，那么next数组就是长度为9的数组
# next的元素得到如下：
# 首先：令 next[0] = -1
# next[i+1]表示needle[0..i]的最大公共前后缀长度
# 由于strs[0] = “A”，没有前后缀，故next[1] = 0
# 由于strs[0..1]=“AB”，前缀为{A}，后缀为{B}，故最大公共前后缀为0，next[2]=0
# 由于strs[0..2]=“ABC”，前缀为{A，AB}，后缀为{BC,C}，故next[3]=0
# 后面同理，于是可得 next数组为 [-1,0,0,0,1,2,0,0,1]
# 将 next数组加上序号，可得table如下：
#-------------------------------------
#| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |  <-- 这是 strs 模式串序号
#-------------------------------------
#| A | B | C | A | B | E | F | A | C |  <-- 这是 strs 模式串
#-------------------------------------
#|-1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 |  <-- 这是 next 数组
#-------------------------------------
# 比如，需要匹配的字符串为 “ABCDABCABABCABEFACDAB”
# 那么，有如下匹配：
# “ABCDABCABABCABEFACDAB”
# “ABCABEFAC”
# 可以看到在 i=3 时（即'D'与'A'）出现不匹配，由于needle[3]=0，那么将第0序号开始对齐
# “ABCDABCABABCABEFACDAB”
#    “ABCABEFAC”
# 再由于 i=0 时（即'D'与'A'）出现不匹配，由于needle[0]=-1，故将第-1序号开始对齐
# “ABCDABCABABCABEFACDAB”
#     “ABCABEFAC”
# 此时，i=5 时（即'A'与'E'）不匹配，由于needle[5]=2，故将第2序号开始对齐
# “ABCDABCABABCABEFACDAB”
#          “ABCABEFAC”
# 此时已经找到匹配字符串，完成
#============================================
if not strs:
return 0
i, j, m, n = -1, 0, len(strings), len(strs)
# i 是 next数组元素值，j是next数组序号
# (由于 next在python中是关键字，此处写作nexts)
nexts = [-1] * n   # next 数组初始化
while j < n - 1:
if i == -1 or strs[i] == strs[j]:
i, j = i + 1, j + 1
nexts[j] = i
else:
i = nexts[i]
i = j = 0
while i < m and j < n:
if j == -1 or strings[i] == strs[j]:
i, j = i + 1, j + 1
else:
j = nexts[j]
if j == n:
return i - j
return -1

[/code]

参考博文：
[1] KMP算法图解之过程实现
[2] 如果你看不懂KMP算法，那就看一看这篇文章

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