算法中常见的Math类问题总结（一）

算法中Math（数学类问题总结一）

Nim Game（分石头），A和B轮流分石头，每人每次只能分1到3个，什么样的策略可以保证A总是赢的。

思路：若是A第一个拿并且总的石头数多于3，那么希望最终留下的是4个，因为剩4个时，无论B怎么拿，A都是赢的。若B第一个拿，那么希望最终剩下的永远不要是4。道理同上。

If（n%4==1 || n%4==2 || n%4==3） return 1; else return 0;

求两个数之和，但是不能使用+或者-。

思路：既然题目要求不能用+或者—，那么只能换种方式，最直接的就是想到用异或运算和&运算。若某位上的两个数同时为1或者0，则异或后为0，若一个1，一个0，则异或后是1，这是加法运算中得到的正确结果。但是没有考虑进位，当同时为1时，该为为0，但需要进位，此时我们再求两个数的&运算，即为进位，并左移一位，讲这个数和上面异或得到的数再递归上述类似的运算，直到&运算后为0，即没有进位为止。

getSum{ if(b==0) return a; c=a^b; d=a&b; getSum(c,d);}

Single Number（在一个整数数组中，每个数都出现两次，只有一个数只出现了一次，找出这个数）

思路：这种题目求和不行，最直接想到的就是进行位运算，再考虑用哪种位运算，我们知道两个相同的数做^运算为0，那么将所有的数做异或运算后，得到的就是只出现一次的那个数了。由此题会引出很多类似的问题，大多都是不同的位运算结合来实现的。

Majority Element（找出整个数组中出现频率最高的那个整数，并且出现的次数多于[n/2]，并且）假设总有这样的数存在的，个数多[n/2]的只有一个数。

思路1：这道题最简单的做法就是先给数组排序，然后统计相等元素的个数，找出最多的那个。但是这样时间复杂度太高，至少是O（nlogn）。

思路2：用哈希表实现。用map存储，数组中的当前元素的值为key，对应的他出现的次数为value，那么最后找个value大与[n/2]的元素即可。

思路3：位运算。假设数据的数值范围是(1,2^32-1)，那么我们可以用32位来表示任何一个数。也就相当于一个大小为
4000
32的数组来标记各个元素在每个位上出现的次数，最后将32位中次数大于[n/2]的删选出来，转换为十进制，即为所求。

Contains Duplicate（判断数组中是否存在重复的两个元素，若有返回ture，否则false）。

思路：这道题很简单，用set或者hashmap都可以快速实现。Set中每个元素只出现一遍，最后判断set的大小和数组的大小是否一样即可。而map可以判断是否已经存在这个元素就OK啦。

Add Digits（求数字各个位之和，直到变为一个数为止。例如：38： 3+8=11；1+1=2）

思路：这题目刚开始看上去，我能想到的就是循环或者递归了，一次一次的遍历求，但是题目的要求确是不能用any loop or recursion。然后就蒙了，想了很久没思路。但是这种题肯定是存在某种规律的，在1到9之间不停地循环。之后看了大神们的解答，果然是这样。0单独考虑外，从1开始，数字之和不停地在1到9之间循环，那么如果这个数是9的倍数，他的最终结果是9，其他的就是n%9的结果了。原来如此简单，功夫不够，还得多练啊。

If(n==0) return 0; m = n%9; if(m==0) return 9; else return m;

Move Zeros（把一个数组中的0全部挪到最后面去，保持数组其他元素的相对位置不变，例如：nums=[0,1,0,3,12]），最后得到nums=[1,3,12,0,0]; 并且只能用替换的方法实现。

思路：这道题很简单，设置两个指针，从头开始，一个是遍历旧数组，遇到一次判断是不是0，另一个负责记录新的数组，讲不是0的全部替换到该指针指向的当前位置。如下：

（ A -> 1； B -> 2； C -> 3 … Z -> 26 AA -> 27 AB -> 28）

思路：这道题其实和十进制的规律一模一样，变形的26进制数。给了一个字符串，计算得到是第几列，也就是把字符串转化为对应的整数。（a[0]-‘A’+1）26+(a[1]-‘A’+1); 更直白的表达：如果是十进制的数1342: 1（10^3）+3*(10^2)+4*(10^1)+2+(10^0); 对应于二十六进制的数： ABCD：1*(26^3)+2*(26^2)+3*(26^1)+4*(26^0).

Power of Two（判断一个数是不是2的幂） num&(num-1) == 0 （这个最简单）

思路1：第一反应想到的应该是二进制，把2,4,8,16,32等2的幂转换成2进账可以发现，最高位为1，后面的全部为0。根据这个规律我们可以把n转换为二进制的字符串，此时最低位对应的数字里的最高位，我们只需要判断最低位是否为1，并且其他为是否全部为0。

思路2：判断一个数的幂可以转换为对数来算，用换底公式，log以10为底的n除以log以10位底的2，此时是double型的，减去它的int型，看是否为0，若是整数，则是2的幂。

注意：由于整数的最小值即Integer.MinValue转换为二进制是不是正常的，需要单独考虑，直接返回false。写这种数字题时，切记注意考虑0,1，最大最小数这些敏感的数，做到万无一失。

Power of Three（判断一个数是不是3的幂）

思路: 同上，用对数的方法判断。

Power of Four（判断一个数是不是4的幂）

思路：除了上面的换地公式，我们还可以借鉴2的思路来考虑这道题。

首先先判断是不是2的幂，是2的幂之后再判断与10101010101 做&运算是不是其本身。

Happy Number（这道题定义了一种快乐数，就是说对于某一个正整数，如果对其各个位上的数字分别平方，然后再加起来得到一个新的数字，再进行同样的操作，如果最终结果变成了1，则说明是快乐数，如果一直循环但不是1的话，就不是快乐数，那么现在任意给我们一个正整数，让我们判断这个数是不是快乐数。）

思路：拿到这种题用肉眼看不出思路，那么就多试几个数，找找规律。果然会发现，在循环中必定会出现1和4，而且4继续循环的话还会回到4，重复上述过程，这时的数就不是快乐数了，直接返回false，若是1的话就返回true；当然，如果没发现这个规律的话，我们可以用set，将每次得到的结果保存起来，若是再出现的话那一定是开始循环了，则返回，否则继续。这种题，如果要是用很严格的数学证明结论的话，那比较难，希望有一天可以达到这种水平。

Ugly Number（定义为一个数的质因素只包含2，3，5）

思路：这道题很简单，最直接的思路就是直接用该数不停地除以2，直到不能整除为止，同理，再除以3，5。看最终结果是不是为1。

Number of 1 bits（一个无符号整数，返回其二进制形式中包含的1的个数）

思路：位运算。每次判断整数n的最后一位是不是1，即让n&1，之后将n右移一位。直到n=0。