【KMP】【矩阵加速】【递推】洛谷 P3193 [HNOI2008]GT考试 题解

看出来矩阵加速也没看出来KMP……

题解：

这个题虽然没怎么提字符串，但是KMP却是解题的关键。

首先令f[i][j]表示到第i个为止连续匹配了j个的方案数，考虑DP或递推。

一开始以为所有的转移都不带系数，感觉后面接一个数要么能继续匹配，要么不能继续匹配，只有两种转移情况，然后发现是比较固定的，\(N\le 10^9\)就可以矩阵加速完成推导了。

不过怎么改都过不了样例。想到后面接的数字有10种情况，只有1种可以连续，就分配1:9的倍数比例转移，当前方案数×9转移到失配，当前方案数×1转移到下一个。这时候样例过了，手敲的几组很弱的数据也没问题。交上去一分没有……

结果看了一些题解才知道，上面的方案数×9转移到失配中的失配不一定直接到0了，而是可能失配到中间，也就是可以从半路接着匹配到其它的，这里就和KMP不谋而合了。比如


因此\(f[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{m-1}f[i-1][k]*a[i][k][j]\)，\(a[i][k][j]\)表示到第i-1个字符连续匹配成功k次转移到第i个字符连续转移j次的方案数。正常情况下\(a[i][k][k+1]=1\)，然后KMP的nxt数组就派上用场了，它可以求出下一个字符是c时的最长匹配\(f[i_1][j_1]\)，让方案数变为加上\(f[i_1][j_1]\)。

初始化\(f[0][0]=1\)，因为对每一个\(i\)，\(a\)数组都是一定的，所以放进矩阵里转移，进行矩阵加速就可以了。状态矩阵是\((m+1)\times 1\)的，转移矩阵就需要\((m+1)\times (m+1)\)。

就有了$$\begin{bmatrix}
a[0][1] & a[1][1] & \cdots & a[m][1]\\
a[0][2] & a[1][2] & \cdots & a[m][2]\\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\
a[m][1] & a[m][2] & \cdots & a[m][m]
\end{bmatrix}
\times \begin{bmatrix}
f[i][0]\\
f[i][1]\\
\cdots \\
f[i][m]
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
f[i+1][0]\\
f[i+1][1]\\
\cdots \\
f[i+1][m]
\end{bmatrix}$$

在计算\(a\)数组时，方法和KMP匹配很像，只不过每次都要匹配'0'~'9'，而且不是真正的KMP，所以变量\(j\)都要赋成\(i-1\)。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
long long p;
struct matrix//矩阵部分
{
long long a[25][25];
int x,y;
matrix(int x,int y)
{
this->x=x;
this->y=y;
memset(a,0,sizeof(a));
}
matrix()
{
memset(a,0,sizeof(a));
}
matrix mul(matrix m)
{
matrix n(x,m.y);
for(int i=1;i<=x;++i)
for(int j=1;j<=m.y;++j)
for(int k=1;k<=y;++k)
{
n.a[i][j]+=a[i][k]*m.a[k][j]%p;
n.a[i][j]%=p;
}
return n;
}
};
int nxt[30],m;
char t[30];
void kmp()
{
for(int i=2,j=0;i<=m;++i)//单纯求nxt
{
while(j&&t[j+1]!=t[i])
j=nxt[j];
if(t[j+1]==t[i])
++j;
nxt[i]=j;
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d%d%lld",&n,&m,&p);
scanf("%s",t+1);
kmp();
matrix x(m+1,m+1);

for(int i=1;i<=m;++i)
for(int j='0';j<='9';++j)//每个都要匹配，位置不一定都相同
{
int k=i-1;
while(k&&(k==m||t[k+1]!=j))
k=nxt[k];
if(t[k+1]==j)
++k;
x.a[k+1][i]++;
}
for(int i=1;i<=m+1;++i)
{
for(int j=1;j<=m+1;++j)
printf("%d ",x.a[i][j]);
puts("");
}
matrix y(m+1,1);
y.a[1][1]=1;
matrix ans(m+1,m+1);
for(int i=1;i<=m+1;++i)
ans.a[i][i]=1;
while(n)
{
if(n&1)
ans=ans.mul(x);
x=x.mul(x);
n>>=1;
}
ans=ans.mul(y);
long long sum=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
sum+=ans.a[i][1];
printf("%lld\n",sum%p);
return 0;
}