[矩阵乘法+KMP] BZOJ1009: [HNOI2008]GT考试

题意

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2….Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。

他的不吉利数学A1A2…Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2…Xn中没有恰好一段等于A1A2…Am。可以有前导0。

求不出现不吉利的数字的方案数。

N<=1e+9 M<=20

题解

考虑到之前求方案数比较难求，肯定需要递推求解。

注意到在准考证号中找不吉利数字有一个匹配的过程，我们的目标就是让匹配长度始终小于m。设准考证号为模式串，不吉利的数字为匹配串。想一想KMP的过程，我们定义f[i][j]表示模式串匹配到i时，模式串匹配了j个的方案数。

现在在后面添加一个数字，匹配数肯定要发生变化，设w[i][j]表示使匹配数从i变到j添加的数字的种数。显然这个可以简单的预处理出来。

递推方程也能得到了：f[i][j]=f[i-1][k]*w[k][j]

答案=∑m−1i=0f[n][i]

但是因为n太大了，所以考虑如何优化。再观察一下递推过程，发现这不就是矩阵乘法的形式吗？把w数组看作m*m的矩阵，f的第二维每乘一次w,i就推了一位。做一下快速幂，复杂度就降下来了。经典的矩阵乘法加速递推。

时间复杂度：O(logN*20^3)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
typedef long long LL;
LL n,m,MOD,ans,nxt[maxn];
struct Matrix{
int n,m; LL a[25][25];
Matrix operator * (const Matrix &b)const{
Matrix c; c.n=n; c.m=b.m; memset(c.a,0,sizeof c.a);
for(int i=0;i<=c.n;i++)
for(int j=0;j<=c.m;j++)
for(int k=0;k<=m;k++) c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%MOD;
return c;
}
} fst,f;
char s[55];
void get_nxt(){
nxt[1]=0;
for(int j=0,i=2;i<=m;i++){
while(j&&s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
if(s[j+1]==s[i]) j++;
nxt[i]=j;
}
}
int Jump(int j,char now){
while(j&&s[j+1]!=now) j=nxt[j];
if(s[j+1]==now) j++;
return j;
}
Matrix power(Matrix a,LL b){
if(b==1) return a;
if(b&1) return power(a,b-1)*a;
Matrix t=power(a,b/2);
return t*t;
}
int main(){
freopen("bzoj1009.in","r",stdin);
freopen("bzoj1009.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD);
scanf("%s",s+1);
get_nxt();
f.n=f.m=m-1;
for(int i=0;i<=m-1;i++)
for(char j='0';j<='9';j++) f.a[i][Jump(i,j)]++;
fst.n=0; fst.m=m-1; fst.a[0][0]=1;
fst=fst*power(f,n);
for(int i=0;i<=m-1;i++) ans=(ans+fst.a[0][i])%MOD;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}