回溯算法 DFS深度优先搜索 (递归与非递归实现)
2018-08-07 13:05
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回溯法是一种选优搜索法(试探法),被称为通用的解题方法,这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。通过剪枝(约束+限界)可以大幅减少解决问题的计算量(搜索量)。
深度优先搜索(Depth-First-Search,DFS)是一种用于遍历或搜索树或图的算法。沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过,搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点,则选择其中一个作为源节点并重复以上过程,整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。 --from wiki
2、从根结点出发深度优先搜索解空间树
3、当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解
如果包含,就从该结点出发继续按深度优先策略搜索
否则逐层向其祖先结点回溯(退回一步重新选择)
满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”
4、算法结束条件
求所有解:回溯到根,且根的所有子树均已搜索完成
求任一解:只要搜索到问题的一个解就可以结束
这类子集树通常有2^n个叶结点
解空间树的结点总数为2^(n+1) - 1
遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间
DFS搜索在程序中可以两种方式来实现,分别是非递归方式和递归方式。前者思路更加清晰,便于理解,后者代码更加简洁高效。
2、从堆栈中取出第一个节点,并检验它是否为目标。
如果找到目标,则结束搜寻并回传结果。
否则将它某一个尚未检验过的直接子节点加入堆栈中。
3、重复步骤2。
4、如果不存在未检测过的直接子节点。
将上一级节点加入堆栈中。
重复步骤2。
5、重复步骤4。
6、若堆栈为空,表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传“找不到目标”。
2、对于原始序列中某个位置的数,其子序列中可以包含这个数,也可以不包含这个数,所以每次有两种选择,即每个节点有两个子节点。
3、flag属性标识了当前节点的子节点遍历情况。若flag=0,表示子节点都没访问过,下一步优先访问左节点,所以将左节点加入堆栈中;flag=1,表示访问过左节点,下一步访问右节点;flag=2,表示访问过左右节点。
4、当没有子节点(now->rank >= deque.size())或者左右节点都访问过时(flag=2),回溯到上一级节点。
5、程序循环中,首先通过now当前节点,找到下一个子节点next,将其加入堆栈中,便于下一步循环。在now节点销毁前,将其存到previous,并加入pre_stk堆栈中。这样在下一轮循环中,previous相对于now就是上一级节点,如果now不能找到其子节点,就要返回上一级,这样previous就可以重新赋给now,达到返回上一级的目的。
6、整个程序的终止条件是pre_stk堆栈为空时截止,说明所有节点都已经遍历过,并且没有再可回溯的节点了。实际运用中,可以通过其他属性(搜索到可行解)来提前终止程序。
2、对于元素a[i],每次对应两个选择。若选择将a[i]加入到解中,则解中元素个数+1,乘积结果*a[i],所以下一步更新为
3、回溯时要将标志位重置。
DFS深度优先搜索(入门) - CSDN博客
广度优先搜索 BFS算法 - 东聃 - 博客园
基本思想
将n元问题P的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的解转化为在T中搜索问题P的解。深度优先搜索(Depth-First-Search,DFS)是一种用于遍历或搜索树或图的算法。沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过,搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点,则选择其中一个作为源节点并重复以上过程,整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。 --from wiki
实现方法
1、按选优条件对T进行深度优先搜索,以达到目标。2、从根结点出发深度优先搜索解空间树
3、当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解
如果包含,就从该结点出发继续按深度优先策略搜索
否则逐层向其祖先结点回溯(退回一步重新选择)
满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”
4、算法结束条件
求所有解:回溯到根,且根的所有子树均已搜索完成
求任一解:只要搜索到问题的一个解就可以结束
遍历过程
典型的解空间树
第一类解空间树:子集树
当问题是:从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时相应的解空间树称为子集树,例如n个物品的0/1背包问题。这类子集树通常有2^n个叶结点
解空间树的结点总数为2^(n+1) - 1
遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间
第二类解空间树:排列树
当问题是:确定n个元素满足某种性质的排列时相应的解空间树称为排列树,例如旅行商问题。DFS搜索在程序中可以两种方式来实现,分别是非递归方式和递归方式。前者思路更加清晰,便于理解,后者代码更加简洁高效。
非递归实现
非递归实现需要借助堆栈(先入后出,后入先出),在C++中使用stack容器即可。问题
若给定一个序列,需要找到其中的一个子序列,判断是否满足一定的条件。下面将程序实现DFS对子序列的搜索过程。实现步骤:
1、首先将根节点放入堆栈中。2、从堆栈中取出第一个节点,并检验它是否为目标。
如果找到目标,则结束搜寻并回传结果。
否则将它某一个尚未检验过的直接子节点加入堆栈中。
3、重复步骤2。
4、如果不存在未检测过的直接子节点。
将上一级节点加入堆栈中。
重复步骤2。
5、重复步骤4。
6、若堆栈为空,表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传“找不到目标”。
C++代码
/********************************************************************* * * Ran Chen <wychencr@163.com> * * Back-track algorithm (by DFS) * *********************************************************************/ #include <iostream> #include <vector> #include <stack> using namespace std; class Node { public: int num; // 节点中元素个数 int sum; // 节点中元素和 int rank; // 搜索树的层级 int flag; // 0表示子节点都没访问过,1表示访问过左节点,2表示访问过左右节点 vector <int> path; // 节点元素 Node(); Node(const Node & nd); }; // 默认构造函数 Node::Node() { num = 0; sum = 0; rank = 0; flag = 0; // path is empty } // 复制构造函数 Node::Node(const Node & nd) { num = nd.num; sum = nd.sum; rank = nd.rank; flag = nd.flag; path = nd.path; } // ----------------------------------------------------------------- void DFS(const vector <int> & deque) { stack <Node *> stk; // 存储节点对应的指针 stack <Node *> pre_stk; // 存储上一级节点(回溯队列) Node * now = new Node; // 指向当前节点 Node * next = NULL; // 指向下一个节点 Node * previous = NULL; // 指向上一个节点 while (now) { if (now->rank < deque.size() && (now->flag == 0)) { // 左叶子节点,选择当前rank的数字 next = new Node(*now); next->num++; next->sum += deque[next->rank]; next->path.push_back(deque[next->rank]); next->rank++; next->flag = 0; stk.push(next); // 将左节点加入堆栈中 now->flag = 1; // 改变标志位 // 将当前节点作为上一级节点存储并删除 previous = new Node(*now); pre_stk.push(previous); delete (now); // 取出堆栈中的待选节点作为当前节点 now = stk.top(); stk.pop(); // 显示搜索路径 for (int i = 0; i < next->path.size(); ++i) { cout << " " << next->path[i] << " "; } cout << endl; continue; // DFS每次仅选取一个子节点,再进入下一步循环 } if (now->rank < deque.size() && (now->flag == 1)) { // 右节点,不选择当前rank的数字 next = new Node(*now); next->rank++; next->flag = 0; stk.push(next); now->flag = 2; // 将当前节点作为上一级节点存储并删除 previous = new Node(*now); pre_stk.push(previous); delete (now); // 取出堆栈中的待选节点作为当前节点 now = stk.top(); stk.pop(); continue; } // 回溯结束 if (pre_stk.empty()) { break; } // 没有子节点或者没有未搜索过的子节点时,回退到上一级节点(回溯) if (now->rank >= deque.size() || now->flag == 2) { delete (now); now = pre_stk.top(); pre_stk.pop(); } } } // ----------------------------------------------------------------- int main() { stack <Node*> stk; vector <int> deque { 2,3,5,7 }; DFS(deque); cin.get(); return 0; }
运行结果
程序说明
1、定义了一个Node节点类,表示当前状态下已经搜索到的序列,path记录了这个子序列的值,并且类中添加了num(子序列中元素数目)、sum(子序列元素和)等属性,通过这些属性可以判断是否找到满意解或者用于剪枝。2、对于原始序列中某个位置的数,其子序列中可以包含这个数,也可以不包含这个数,所以每次有两种选择,即每个节点有两个子节点。
3、flag属性标识了当前节点的子节点遍历情况。若flag=0,表示子节点都没访问过,下一步优先访问左节点,所以将左节点加入堆栈中;flag=1,表示访问过左节点,下一步访问右节点;flag=2,表示访问过左右节点。
4、当没有子节点(now->rank >= deque.size())或者左右节点都访问过时(flag=2),回溯到上一级节点。
5、程序循环中,首先通过now当前节点,找到下一个子节点next,将其加入堆栈中,便于下一步循环。在now节点销毁前,将其存到previous,并加入pre_stk堆栈中。这样在下一轮循环中,previous相对于now就是上一级节点,如果now不能找到其子节点,就要返回上一级,这样previous就可以重新赋给now,达到返回上一级的目的。
6、整个程序的终止条件是pre_stk堆栈为空时截止,说明所有节点都已经遍历过,并且没有再可回溯的节点了。实际运用中,可以通过其他属性(搜索到可行解)来提前终止程序。
递归实现
参考自Coding_Or_Dead的博客#include<cstdio> #include <iostream> int n, k; __int64 sum = 0; int a[4] = { 2, 3, 5, 7 }, vis[4] = {0, 0, 0, 0}; void DFS(int i, int cnt, int sm)//i为数组元素下标,sm为cnt个数字的乘积 { if (cnt == k) // 解中已包含k个数字 { sum = sum + sm; return; } if (i >= n) return; if (!vis[i]) { // 对第i个数字进行访问 vis[i] = 1; //a[i]被选,优先选择第i个加入到解中,接下来搜索第i+1个数字 DFS(i + 1, cnt + 1, sm*a[i]); //a[i]不选,不选择第i个,相当于右节点,接下来搜素第i+1个数字 DFS(i + 1, cnt, sm); vis[i] = 0; // 回溯 } return; } int main(void) { n = 4, k = 2; DFS(0, 0, 1); printf("%I64d\n", sum); std::system("pause"); return 0; }
程序说明
1、程序目的:给定n个正整数,求出这n个正整数中所有任选k个相乘后的和,这里的数组a[4]存储原序列,vis[4]作为访问标志,k取2,结果输出为101,对应的序列是{2, 3}{2, 5}{2, 7}{3, 5}{3, 7}{5, 7}。
2、对于元素a[i],每次对应两个选择。若选择将a[i]加入到解中,则解中元素个数+1,乘积结果*a[i],所以下一步更新为
DFS(i + 1, cnt + 1, sm*a[i])。若不选择a[i],则解中的元素个数和乘积不变,下一步更新为
DFS(i + 1, cnt, sm)。
3、回溯时要将标志位重置。
References
深度优先搜索 - 维基百科,自由的百科全书DFS深度优先搜索(入门) - CSDN博客
广度优先搜索 BFS算法 - 东聃 - 博客园
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