Spark MLlib 之 大规模数据集的相似度计算原理探索
Spark MLlib 之 大规模数据集的相似度计算原理探索
无论是ICF基于物品的协同过滤、UCF基于用户的协同过滤、基于内容的推荐,最基本的环节都是计算相似度。如果样本特征维度很高或者<user, item, score>的维度很大,都会导致无法直接计算。设想一下100w*100w的二维矩阵,计算相似度怎么算?
更多内容参考——我的大数据学习之路——xingoo
在spark中RowMatrix提供了一种并行计算相似度的思路,下面就来看看其中的奥妙吧!
相似度
相似度有很多种,每一种适合的场景都不太一样。比如:
- 欧氏距离,在几何中最简单的计算方法
- 夹角余弦,通过方向计算相似度,通常在用户对商品评分、NLP等场景使用
- 杰卡德距离,在不考虑每一样的具体值时使用
- 皮尔森系数,与夹角余弦类似,但是可以去中心化。比如评分时,有人倾向于打高分,有人倾向于打低分,他们的最后效果在皮尔森中是一样的
- 曼哈顿距离,一般在路径规划、地图类中常用,比如A*算法中使用曼哈顿来作为每一步代价值的一部分(F=G+H, G是从当前点移动到下一个点的距离,H是距离目标点的距离,这个H就可以用曼哈顿距离表示)
在Spark中使用的是夹角余弦,为什么选这个,道理就在下面!
上面两个向量
\[
\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right)
\]
和
\[
\left( { x }_{ 2 },{ y }_{ 2 } \right)
\]
计算其夹角的余弦值就是两个向量方向的相似度。
公式为:
\[
cos(\theta )=\frac { a\cdot b }{ ||a||\ast ||b|| } \\ =\quad \frac { { x }_{ 1 }\ast { x }_{ 2 }\quad +\quad { y }_{ 1 }\ast y_{ 2 } }{ \sqrt { { x }_{ 1 }^{ 2 }+{ x }_{ 2 }^{ 2 } } \ast \sqrt { { y }_{ 1 }^{ 2 }+{ y }_{ 2 }^{ 2 } } }
\]
其中,\(||a||\)表示a的模,即每一项的平方和再开方。
公式拆解
那么如果向量不只是两维,而是n维呢?比如有两个向量:
\[
第一个向量:({x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}, ..., {x}_{n})\\
第二个向量:({y}_{1}, {y}_{2}, {y}_{3}, ..., {y}_{n})
\]
他们的相似度计算方法套用上面的公式为:
\[
cos(\theta )\quad =\quad \frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ ({ x }_{ i }\ast { y }_{ i }) } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } \ast \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } \\ =\quad \frac { { x }_{ 1 }\ast { y }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }\ast { y }_{ 2 }+...+{ x }_{ n }\ast { y }_{ n } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } \ast \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } \\ =\quad \frac { { x }_{ 1 }\ast { y }_{ 1 } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } \ast \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } +\frac { { x }_{ 2 }\ast { y }_{ 2 } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } \ast \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } +...+\frac { { x }_{ n }\ast { y }_{ n } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } \ast \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } \\ =\quad \frac { { x }_{ 1 } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } } \ast \frac { { y }_{ 1 } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } +\frac { { x }_{ 2 } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } } \ast \frac { { y }_{ 2 } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } } +...+\frac { { x }_{ n } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } } } \ast \frac { { y }_{ n } }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ y_{ i }^{ 2 } } } }
\]
通过上面的公式就可以发现,夹角余弦可以拆解成每一项与另一项对应位置的乘积\({ x }_{ 1 }\ast { y }_{ 1 }\),再除以每个向量自己的
\[
\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }^{ 2 } } }
\]
就可以了。
矩阵并行
画个图看看,首先创建下面的矩阵:
注意,矩阵里面都是一列代表一个向量....上面是创建矩阵时的三元组,如果在spark中想要创建matrix,可以这样:
val df = spark.createDataFrame(Seq( (0, 0, 1.0), (1, 0, 1.0), (2, 0, 1.0), (3, 0, 1.0), (0, 1, 2.0), (1, 1, 2.0), (2, 1, 1.0), (3, 1, 1.0), (0, 2, 3.0), (1, 2, 3.0), (2, 2, 3.0), (0, 3, 1.0), (1, 3, 1.0), (3, 3, 4.0) )) val matrix = new CoordinateMatrix(df.map(row => MatrixEntry(row.getAs[Integer](0).toLong, row.getAs[Integer](1).toLong, row.getAs[Double](2))).toJavaRDD)
然后计算每一个向量的normL2,即平方和开根号。
以第一个和第二个向量计算为例,第一个向量为(1,1,1,1),第二个向量为(2,2,1,1),每一项除以对应的normL2,得到后面的两个向量:
\[
0.5*0.63+0.5*0.63+0.5*0.31+0.5*0.31 \approx 0.94
\]
两个向量最终的相似度为0.94。
那么在Spark如何快速并行处理呢?通过上面的例子,可以看到两个向量的相似度,需要把每一维度乘积后相加,但是一个向量一般都是跨RDD保存的,所以可以先计算所有向量的第一维,得出结果
\[
(向量1的第1维,向量2的第1维,value)\\
(向量1的第2维,向量2的第2维,value)\\
...\\
(向量1的第n维,向量2的第n维,value)\\
(向量1的第1维,向量3的第1维,value)\\
..\\
(向量1的第n维,向量3的第n维,value)\\
\]
最后对做一次reduceByKey累加结果即可.....
阅读源码
首先创建dataframe形成matrix:
import org.apache.spark.mllib.linalg.distributed.{CoordinateMatrix, MatrixEntry} import org.apache.spark.sql.SparkSession object MatrixSimTest { def main(args: Array[String]): Unit = { // 创建dataframe,转换成matrix val spark = SparkSession.builder().master("local[*]").appName("sim").getOrCreate() spark.sparkContext.setLogLevel("WARN") import spark.implicits._ val df = spark.createDataFrame(Seq( (0, 0, 1.0), (1, 0, 1.0), (2, 0, 1.0), (3, 0, 1.0), (0, 1, 2.0), (1, 1, 2.0), (2, 1, 1.0), (3, 1, 1.0), (0, 2, 3.0), (1, 2, 3.0), (2, 2, 3.0), (0, 3, 1.0), (1, 3, 1.0), (3, 3, 4.0) )) val matrix = new CoordinateMatrix(df.map(row => MatrixEntry(row.getAs[Integer](0).toLong, row.getAs[Integer](1).toLong, row.getAs[Double](2))).toJavaRDD) // 调用sim方法 val x = matrix.toRowMatrix().columnSimilarities() // 得到相似度结果 x.entries.collect().foreach(println) } }
得到的结果为:
MatrixEntry(0,3,0.7071067811865476) MatrixEntry(0,2,0.8660254037844386) MatrixEntry(2,3,0.2721655269759087) MatrixEntry(0,1,0.9486832980505139) MatrixEntry(1,2,0.9128709291752768) MatrixEntry(1,3,0.596284793999944)
直接进入columnSimilarities方法看看是怎么个流程吧!
def columnSimilarities(): CoordinateMatrix = { columnSimilarities(0.0) }
内部调用了带阈值的相似度方法,这里的阈值是指相似度小于该值时,输出结果时,会自动过滤掉。
def columnSimilarities(threshold: Double): CoordinateMatrix = { //检查参数... val gamma = if (threshold < 1e-6) { Double.PositiveInfinity } else { 10 * math.log(numCols()) / threshold } columnSimilaritiesDIMSUM(computeColumnSummaryStatistics().normL2.toArray, gamma) }
这里的gamma用于采样,具体的做法咱们来继续看源 1c13f 码。然后看一下
computeColumnSummaryStatistics().normL2.toArray这个方法:
def computeColumnSummaryStatistics(): MultivariateStatisticalSummary = { val summary = rows.treeAggregate(new MultivariateOnlineSummarizer)( (aggregator, data) => aggregator.add(data), (aggregator1, aggregator2) => aggregator1.merge(aggregator2)) updateNumRows(summary.count) summary }
之前有介绍这个treeAggregate是一种带“预reduce”的map-reduce,返回的summary,里面帮我们统计了每一个向量的很多指标,比如
currMean 为 每一个向量的平均值 currM2 为 每个向量的每一维的平方和 currL1 为 每个向量的绝对值的和 currMax 为 每个向量的最大值 currMin 为 每个向量的最小值 nnz 为 每个向量的非0个数
这里我们只需要currM2,它是每个向量的平方和。summary调用的normL2方法:
override def normL2: Vector = { require(totalWeightSum > 0, s"Nothing has been added to this summarizer.") val realMagnitude = Array.ofDim[Double](n) var i = 0 val len = currM2.length while (i < len) { realMagnitude(i) = math.sqrt(currM2(i)) i += 1 } Vectors.dense(realMagnitude) }
上面这步就是对平方和开个根号,这样就求出来了每个向量的分母部分。
下面就是最关键的地方了:
private[mllib] def columnSimilaritiesDIMSUM( colMags: Array[Double], gamma: Double): CoordinateMatrix = { // 一些参数校验 // 对gamma进行开方 val sg = math.sqrt(gamma) // sqrt(gamma) used many times // 这里把前面算的平方根的值设置一个默认值,因为如果为0,除0会报异常,所以设置为1 val colMagsCorrected = colMags.map(x => if (x == 0) 1.0 else x) // 把抽样概率数组 和 平方根数组进行广播 val sc = rows.context val pBV = sc.broadcast(colMagsCorrected.map(c => sg / c)) val qBV = sc.broadcast(colMagsCorrected.map(c => math.min(sg, c))) // 遍历每一行,计算每个向量该维的乘积,形成三元组 val sims = rows.mapPartitionsWithIndex { (indx, iter) => val p = pBV.value val q = qBV.value // 获得随机值 val rand = new XORShiftRandom(indx) val scaled = new Array[Double](p.size) iter.flatMap { row => row match { case SparseVector(size, indices, values) => // 如果是稀疏向量,遍历向量的每一维,除以平方根 val nnz = indices.size var k = 0 while (k < nnz) { scaled(k) = values(k) / q(indices(k)) k += 1 } // 遍历向量数组,计算每一个数值与其他数值的乘机。 // 比如向量(1, 2, 0 ,1) // 得到的结果为 (0,1,value)(0,3,value)(2,3,value) Iterator.tabulate (nnz) { k => val buf = new ListBuffer[((Int, Int), Double)]() val i = indices(k) val iVal = scaled(k) // 判断当前列是否符合采样范围,如果小于采样值,就忽略 if (iVal != 0 && rand.nextDouble() < p(i)) { var l = k + 1 while (l < nnz) { val j = indices(l) val jVal = scaled(l) if (jVal != 0 && rand.nextDouble() < p(j)) { // 计算每一维与其他维的值 buf += (((i, j), iVal * jVal)) } l += 1 } } buf }.flatten case DenseVector(values) => // 跟稀疏同理 val n = values.size var i = 0 while (i < n) { scaled(i) = values(i) / q(i) i += 1 } Iterator.tabulate (n) { i => val buf = new ListBuffer[((Int, Int), Double)]() val iVal = scaled(i) if (iVal != 0 && rand.nextDouble() < p(i)) { var j = i + 1 while (j < n) { val jVal = scaled(j) if (jVal != 0 && rand.nextDouble() < p(j)) { buf += (((i, j), iVal * jVal)) } j += 1 } } buf }.flatten } } // 最后再执行一个reduceBykey,累加所有的值,就是i和j的相似度 }.reduceByKey(_ + _).map { case ((i, j), sim) => MatrixEntry(i.toLong, j.toLong, sim) } new CoordinateMatrix(sims, numCols(), numCols()) }
这样把所有向量的平方和广播后,每一行都可以在不同的节点并行处理了。
总结来说,Spark提供的这个计算相似度的方法有两点优势:
- 通过拆解公式,使得每一行独立计算,加快速度
- 提供采样方案,以采样方式抽样固定的特征维度计算相似度
不过杰卡德目前并不能使用这种方法来计算,因为杰卡德中间有一项需要对向量求dot,这种方式就不适合了;如果杰卡德想要快速计算,可以去参考LSH局部敏感哈希算法,这里就不详细说明了。
posted @ 2018-07-11 21:54 xingoo 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏- spark mllib 协同过滤算法,基于余弦相似度的用户相似度计算
- 大规模数据相似度计算时,解决数据倾斜的问题的思路之一(分块思想)
- 大规模数据相似度计算时,解决数据倾斜的问题的思路之一(分块思想)
- 大规模数据相似度计算时,解决数据倾斜的问题的思路之一(分块思想)
- 分享:基于MinHash的集合相似度计算原理
- 一文详解大规模数据计算处理原理及操作重点 - 大数据
- 一文详解大规模数据计算处理原理及操作重点 - 大数据
- 徐海蛟:Matlab计算大规模图片数据集的L1距离
- 大规模文档相似度计算—基于MapReduce框架
- 大规模向量相似度计算方法(Google在07年发表的文章)
- Spark Mllib里的如何对单个数据集用斯皮尔曼计算相关系数
- 常用的相似度计算方法原理及实现
- Matlab计算大规模图片数据集的L1距离
- 大规模文档相似度计算—基于MapReduce框架
- spark mllib 中的tf-idf算法计算文档相似度
- CUDA之大规模GPU并行系列教程(二)——大规模并行计算GPU与CUDA简介
- 井径测井原理、计算方法、主要应用、仪器刻度、质量控制
- 计算字符串相似度
- Linux下的CPU利用率计算原理详解
- JVM原理及底层探索