《算法图解》第九章动态规划学习心得

1、背包问题
动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。每个动态规划都从一个网格开始，背包问题的网格如下：



网格最初是空的，动态规划就是逐步将网格填满。
吉他行

第一个单元格表示背包的容量为1磅。 吉他的重量也是1磅， 这意味着它能装入背包！ 因此这个单元格包含吉他， 价值为1500美元。 来看下一个单元格，这个单元格表示背包的容量为2磅， 完全能够装下吉他！这行的其他的单元格也是如此，因为你目前只能把吉他装入背包，其他两种商品还未出现，所以第一行变成下图：



注意：这行表示的是当前的最大价值。
 音响行
现在来到第二行，在每一行，可偷的商品都是当前行的商品和之前各行的商品。因此，当前你已经解锁了音响和吉他，但是笔记本电脑还未解锁。现在来看第一个单元格，它表示容量为1磅的背包。 在此之前， 可装入1磅背包的商品的最大价值为1500美元。 背包的容量为1磅， 能装下音响吗？ 音响太重了， 装不下！ 由于容量1磅的背包装不下音响， 因此最大价值依然是1500美元。 接下来的两个单元格的情况与此相同。 



现在来到了第四个单元格，也就是说背包容量为4磅，终于能装下音响，由于音响的价值为3000美元，比1500美元的吉他值钱多了，所以还是偷音响吧。



笔记本电脑行
下面以同样的方式处理笔记本电脑。 笔记本电脑重3磅， 没法将其装入容量为1磅或2磅的背包， 因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。



对于容量为3磅的背包， 原来的最大价值为1500美元， 但现在你可选择盗窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他， 这样新的最大价值将为2000美元！



现在来到这个问题最关键的单元格，对于容量为4磅的背包，当前的最大价值为3000美元， 你可不偷音响， 而偷笔记本电脑， 但它只值2000美元。但是笔记本电脑的重量只有3磅， 背包还有1磅的容量没用！ 在1磅的容量中， 可装入的商品的最大价值之前计算过。根据之前计算的最大价值可知， 在1磅的容量中可装入吉他， 价值1500美元。于是有了下面的比较：



于是我们得到了最终的结果：



在这个过程中，我们填入单元格时用到了下面的公式：



2、背包问题FAQ

沿着一列往下走时， 最大价值有可能降低吗？
答案： 不可能。 每次迭代时， 你都存储当前的最大价值。 最大价值不可能比以前低！
行的排列顺序发生变化时结果将如何变化？
答案：没有变化。 也就是说， 各行的排列顺序无关紧要。

可以逐列而不是逐行填充网格吗？
答案：就这个问题而言， 这没有任何影响， 但对于其他问题， 可能有影响。

增加一件更小的商品将如何呢？
答案：单元格的按最小商品的重量划分。

可以偷商品的一部分吗？
答案：没法处理。 使用动态规划时， 要么考虑拿走整件商品， 要么考虑不拿， 而没法判断该不该拿走商品的一部分。
但使用贪婪算法可轻松地处理这种情况！ 首先， 尽可能多地拿价值最高的商品； 如果拿光了， 再尽可能多地拿价值次高的商品， 以此类推。

动态规划可以处理相互依赖的情况吗？
答案：没办法建模。 动态规划功能强大， 它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。 但仅当每个子问题都是离散的， 即不依赖于其他子问题时， 动态规划才管用 。

计算最终的解时会涉及两个以上的子背包吗？
答案：根据动态规划算法的设计， 最多只需合并两个子背包， 即根本不会涉及两个以上的子背包。 不过这些子背包可能又包含子背包。

最优解可能导致背包没装满吗？
答案：完全可能。

3、动态规划的启发

动态规划可帮助你在给定约束条件下找到最优解。 在背包问题中，你必须在背包容量给定的情况下， 偷到价值最高的商品。
在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时， 就可使用动态规划来解决。
要设计出动态规划解决方案可能很难， 这正是本节要介绍的。 下面是一些通用的小贴士。
每种动态规划解决方案都涉及网格。
单元格中的值通常就是你要优化的值。 在前面的背包问题中， 单元格的值为商品的价值。
每个单元格都是一个子问题， 因此你应考虑如何将问题分成子问题， 这有助于你找出网格的坐标轴。
4、小结
需要在给定约束条件下优化某种指标时， 动态规划很有用。
问题可分解为离散子问题时， 可使用动态规划来解决。
每种动态规划解决方案都涉及网格。
单元格中的值通常就是你要优化的值。
每个单元格都是一个子问题， 因此你需要考虑如何将问题分解为子问题。
没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。
5、练习

假设你还可偷另外一件商品——MP3播放器， 它重1磅， 价值1000美元。 你要偷吗？
要。 在这种情况下， 你可偷来MP3播放器和iPhone和吉他， 总价值为4500美元。
假设你要去野营。 你有一个容量为6磅的背包， 需要决定该携带下面的哪些东西。 其中每样东西都有相应的价值， 价值越大意味着越重要：
                  水（重3磅， 价值10） ；
                  书（重1磅， 价值3）
                  食物（重2磅， 价值9） ；
                  夹克（重2磅， 价值5） ；
                  相机（重1磅， 价值6） 。
   请问携带哪些东西时价值最高？
    你应携带水、 食物和相机。

请绘制并填充用来计算blue和clues最长公共子串的网格。