数据格式(定点表示 浮点表示)

计算机常用的数据表示格式有两种：

定点表示：小数点位置固定(数值范围有限)

浮点表示：小数点位置不固定(数值范围很大)

定点表示

概念:所有数据的小数点位置固定不变

表示方法:符号位+量值(尾数)

特点:

数的范围受字长限制，表示数的范围有限;

计算机中多用定点纯整数表示,所以将定点数表示的运算简称为整数运算

分类:理论上小数点位置可以任意，但实际上将数据表示成如下两种形式

纯小数(小数点固定在量值最高位的左边,即符号位与量值之间)

表示范围(量值为n位时): 0≤|x|≤1−2−n0≤|x|≤1−2−n



纯整数(小数点固定在量值最低位的右边)

表示范围(量值为n位时): 0≤|x|≤2n−10≤|x|≤2n−1

浮点表示

概念:小数点位置随阶码不同而浮动

表示方法:

核心

任意一个二进制数N可以写成 N=2e.MN=2e.M (如同任意一个十进制数N可以写成N=10e.MN=10e.M )

其中 ee 是浮点数的指数,MM 是浮点数的尾数,两者都是有符号的

指数= 阶符+阶码

尾数= 数符+尾数

机器中的表示(早期的计算机中)

阶符+阶码+数符+尾数

IEEE754标准(规定了浮点数的表示格式,运算规则等)

基数2是固定常数,故可不表示出来

尾数用原码,但指数用移码(便于对阶和比较,不需要判断符号位),指数的阶符被隐含在移码里面,故可不表示出来

浮点数的规格化表示: 当尾数的值不为0时,尾数域的最高有效位应为1(类似于0.011强制要求用1.1∗2−21.1∗2−2表示),又因为最高位固定为1,即尾数域表示的值是1.M,故最高位的1也不予存储.

要除去E用全0和全1表示零和无穷大的情况,如本来是0~255则变成1~254

单精度(32位)



S是数的符号位，1位，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数

尾数用原码表示,故符号规则同原码

M是尾数， 23位，在低位部分，采用纯小数表示

注意这里是规格化表示的,即23位字段实际存储24位有效数

E是阶码，8位，采用移码表示。

真值e变为阶码E时加上固定的偏移量127,即E=e+127E=e+127

移码比较大小方便,表示范围从-126~+127移动到1~254

双精度(64位)



S是数的符号位，1位，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数

尾数用原码表示,故符号规则同原码

M是尾数， 52位，在低位部分，采用纯小数表示

注意这里是规格化表示的,即52位字段实际存储53位有效数

E是阶码，11位，采用移码表示。

真值e变为阶码E时加上固定的偏移量1023,即E=e+1023E=e+1023

移码比较大小方便,表示范围从-1022~+1023移动到1~2046

表示范围

单精度(32位)指数	单精度(32位)尾数	双精度(64位)指数	双精度(64位)尾数	表示的对象
0	0	0	0	0(结合符号位有正零和负零之分)
0	非0	0	非0	正负规格化数
1~254	任意数	1~2046	任意数	正负浮点数
255	0	2047	0	正负无穷
255	非0	2047	非0	不是一个数(NaN)

例1(十进制数转浮点数)

十进制(20.59375)10(20.59375)10数 转换成 754标准的浮点数(32位)的二进制存储格式

分别将整数和分数部分转换成二进制数

得 20.59375=10100.1001120.59375=10100.10011

移动小数点，使其在第1，2位之间(格式化浮点数,小数点在最高位的1后)

得 10100.10011=1.010010011×2410100.10011=1.010010011×24

由真值e加偏移量(32位为127,64位为1023)得阶码E

E=e+127=4+127=131=10000011E=e+127=4+127=131=10000011

S=0S=0

M=010010011M=010010011

得32位浮点数的二进制存储格式(不满32位后面要补0)

0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=(41A4C000)16(41A4C000)16

例2(浮点数转十进制数)

754标准存储格式为(41360000)16(41360000)16的浮点数 转 十进制数

将数展开,用二进制格式表示

得,0 100 00010 011 0110 0000 0000 0000 0000

根据对应位置,得

S=0S=0

e=E−127=10000010−01111111=00000011=(3)10e=E−127=10000010−01111111=00000011=(3)10

尾数补回隐藏位1,得

1.M=1.01101100000000000000000=1.0110111.M=1.01101100000000000000000=1.011011

故十进制数为

(−1)s×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10(−1)s×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10