数据结构 之 Prim算法的应用 之 MST（最小生成树）

算法：Prim 应用：对一个带权无向图生成 （权值）最小生成树 （程序来自《天勤 数据结构 高分笔记》） 今日一签，赠给奋斗的自己和你们：
人生不能像做菜，把所有的材料都准备好了才下锅。——李安《饮食男女》 讲述算法前，先做如下的说明：1. 带权无向图的存储把一个共有N个结点的带权无向图的信息（边以及边的权值）存放在一个大小为N乘N的二维方阵中。带权无向图的N个结点的编号是0至N-1。方阵元素[i][j]表示节点编号是i和j的2个节点之间的边的权值，行标 = 列标 的 方阵元素 规定 其值是0，表示结点自身到自身的权值是0；宏定义一个常量INF，把它的值设为大于图中所有边权值的一个数，这个自定，若图中结点i与结点j之间没有边，规定二维方阵中的元素[i][j]的值是INF，表示两个结点之间的权值是无穷大。图由结点和边构成，所以，结构体定义如下：#define MAXSIZE 100#define INF     500 typedef struct{    int no;         // 存放结点的编号    char info;     // 存放结点的信息}VertexType;         // 结点 typedef struct{    int n,e;                     // n: 存放图的结点总数，e: 存放图的边的总数    int edges[MAXSIZE][MAXSIZE]; // 存放带权无向图的边和边的权值信息    VertexType vex[MAXSIZE];     // 存放带权无向图的结点信息}MGraph; // 图 2. 树树只有一个根，根下是各个子树，并且很重要的一点是这些子树互不相交，所以树中是没有环的，所以，在做这个算法的时候，不能到最后生成的是一个带环的图，避免出现环，需要一个判断语句，这个判断语句什么时候应该出现，它的内容是什么，读程序的时候请格外注意。 3. C++ 的 引用& 函数void Prim(MGraph g, int v0, int &sum)参数中的sum是C++中的引用类型，表示它的值在传进函数以后，其值需要跟着函数的功能实现而被改变。

C++代码： 

#include <iostream>

using namespace std;

#define MAXSIZE 100
#define INF     500

typedef struct
{
int no;
char info;//
}VertexType;

typedef struct
{
int n,e;
int edges[MAXSIZE][MAXSIZE];
VertexType vex[MAXSIZE];
}MGraph;

void Prim(MGraph g, int v0, int sum)
{
int lowcost[g.n] = {0};
int vset[g.n] = {0};
int v;
int i,j,k;
int min;

v = v0;
vset[v] = 1;
for(int i=0;i<g.n;++i)
lowcost[i] = g.edges[v][i];
sum = 0;

for(int i=0;j<g.n-1;i++){
min = INF;
for(int j=0;j<g.n;++j)
if(vset[j]==0 && lowcost[j] < min)
{
min = lowcost[j];
k=j;
}

v = k;
vset[v] = 1;
sum += min;

for(int j=0;j<g.n;++j)
if(vset[j]==0 && g.edges[v][j]<lowcost[j])
lowcost[j] = g.edges[v][j];
}
}

int main()
{

}

程序的说明：1. 把一个很大的结构体MGraph作为函数的参数，浪费空间，这个在实际中需要改进。作为考试代码，完全可以先这样写。 2. 外层的for循环，只需要执行g.n-1次（即 图的结点总数-1）即可，因为参数v0表示MST的第一个起始结点，又根据算法可以满足执行g.n-1次找到剩下的n-1个结点就完成MST的确定 3. 数组vset大小是图的结点个数，初始化时元素都为0，随着算法的进行，如果某个结点i归入了MST，那么vset[i]置为1，否则为0，而程序中反复出现的判断语句vset[j]==0可以保证找到的树是一个不带环的图，这一点非常重要！！待整个prim函数执行完，vset中的元素就会全部是1。 4. 数组lowcost大小是图的结点个数，这个变量记录的是当前MST 到 剩余其他结点 的 最小路径值，一开始MST只是结点V0，内层的第一个for循环用于使用当前的lowcost找到一个新的应该并入MST的结点v，内层的第二个for循环用于通过刚找到的这个新的并入MST的结点v更新lowcost 5.外层循环执行g.n-1（简写为n-1）次，<
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/p>内层的2个for循环执行g.n（简写为n）次，基本操作共执行（n-1）*（2n）次，所以时间复杂度取大的量级为：n的平方，也可以看出，Prim算法生成MST时间复杂度只与结点的个数有关，与边没有关系，所以Prim算法适合 稠密图（结点多，边少） 6.变量min表示 当前的MST树（中的各个节点）距离 剩下的 结点的 最小路径值 的 最小值