快排的最差情况以及快排平均复杂度的计算

最近突然讨论了这两个问题，有点忘记了，记录了一下网上的比较好的说法，参见Reference

快排的相关知识请参考排序总结

快排的最差情况以及如何避免

首先，快排的最差情况什么时候发生？

1. 已排序

2. 数值全部相等（1的特殊情况）

快排最好的情况是，每次正好中分，复杂度为O(nlogn)。最差情况，复杂度为O(n^2)，退化成冒泡排序

为了尽量避免最差情况的发生，就要尽量使每次选择的pivot为中位数。

一般常用的方法是，对每一个数列都取一次中位数(O(n))，这样总体的快排时间复杂度仍为O(nlogn)。

更为简化的方法是，取头、中、尾的中位数(O(1))作为pivot

另一个问题：

如果有元素等于pivot，是换还是不换呢？

1. 如果换，那当遇到全是一样的数，每一次都要交换，但是有一个好处是，pivot会移动到中间的地方，正好中分，符合快排最好的情况，复杂度为O(nlogn)

2. 如果不换，同样是全是一样的数，的确不用交换，i指针一直移到最后遇到j指针，pivot被移动到最后一位。分治时，右边没有元素，左边n-1个元素，重复一下。符合快排最坏情况，复杂度为O(n^2)

综上，还是换吧。

对于最差情况的第2种数据，即数值全部相等，或者存在大量相等的数值时，Java的sort方法中使用三向切分快排来优化这个问题，详情请看Java中的排序

快排平时时间复杂度计算

计算方式来源于算法导论

主定理: T
= aT[n/b] + f (n)

其中 a >= 1 and b > 1 是常量 并且 f (n) 是一个渐近正函数， 为了使用这个主定理，您需要考虑下列三种情况：



快速排序的每一次划分把一个 问题分解成两个子问题，其中的关系可以用下式表示：

T
= 2T[n/2] + O(n) 其中O(n)为PARTITION()的时间复杂度，对比主定理，

T
= aT[n/b] + f (n)

我们的快速排序中：a = 2, b = 2, f(n) = O(n)

Reference：

1. https://www.geeksforgeeks.org/when-does-the-worst-case-of-quicksort-occur/
2.《算法导论》