线性代数-乘法和逆矩阵和A的LU分解

矩阵的五种乘法：
1.最常见的点乘法（行乘列）



如果有矩阵A (m x n) B(n x p )则相乘后的矩阵为 m x p
2.列的思想：



（1）矩阵A乘B的第一列得到C的第一列，矩阵A乘B的第二列，得到C的第二列
（2）所以B可以考虑为单个的列向量，那么A乘向量，则是线性组合，我们可以说
（3）C是A列的线性组合

3.行的四维



（1）A中的一行乘B的所有行，那么可以得到对应的C
（2）C中的行是B各行的线性组合
4.列乘行



得到：AB等于（A各列与B个行的乘积）的和
如下：


5.分块乘法
其中A1,A2....B1,B2....皆为矩阵



以上五种乘法都能得到一样的结果

矩阵的逆



若一个矩阵可逆，无论左乘还是右乘都能得到单位矩阵（前提：方阵）
对于这种矩阵，我们称为可逆矩阵，非奇异矩阵
不可逆矩阵、奇异矩阵



因为A中1列和2列共线，而单位矩阵为1,0     所以无论怎么对其进行线性组合都是共线，所以不可能得到1,0
另外一种方式证明：


如果存在AX = 0，说明左右两边同乘A的逆，则X = 0 ，这里X为列向量3，-1

高斯-乔丹思想
求A的逆



从“分别解两个方程组”变为“同时解两个方程”



这时候按照高斯的思想---进行消元



再进行多一步：将A变为单位矩阵的消元



这时候得到单位阵和A的逆



那么在上一次中的初等矩阵E与消元的关系可以得出



LU分解

已知A可逆，B可逆，则AB乘积的逆是什么



转置矩阵：讲原矩阵的行变为列，列变为行


（这里注意转置后的顺序互换）
得出结论：A转置的逆就是A的逆的转置
继续高斯消元：



求出初等矩阵



根据A = LU 可知 L等于初等矩阵E的逆



L为下三角矩阵（lower）         U为上三角矩阵（Upper）

对于3X3的矩阵 LU分解变为



消元法的操作步数
规定：消元中不需要进行行互换，同时乘法与减法视为一步，每个元素单独考虑
那么对于n x n （n = 100）矩阵，消元步骤数约等于



对于回代中的b向量的操作数等于



矩阵的转置：