【算法笔记】 简单二维DP（资源分配 最长公共子序列 区间DP）

1.资源分配类

要求资源分配的最大值，我们可以用二维数组f[i][j]来表示前i个公司得到j台机器后所得到的最大盈利值。

方程是：

f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+a[i][j-k]);

我们要去枚举每一个i和j，因此用双重循环来解决，k表示第i个公司取的不取机器数，即1~i-1个公司取的机器数；f[i-1][k]表示前i-1个公司取k台机器的最大值，a[i][j-k]表示第i个公司取剩余的k台机器的利益，那么f[i-1][k]+a[i][j-k]表示的就是第i个公司不取k台机器所得到的最大值，当然，k也是用循环来枚举的。

emm.......

有点绕，毕竟我感觉资源分配的博客是我一直相要写的，却一直不知道要怎么表达，因此写的有点绕，也只能在方程的基础上解释一下方程的意义了，那么结合代码也许可以更好理解一些：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000][1000],f[1000][1000]={},n,m;
int main()
{
cin>>m>>n;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j];
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
for (int k=0;k<=j;k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+a[i][j-k]);
cout<<f[n][m];
return 0;
}

2.最长公共子序列

这个其实很简单，设f[i][j]为第一个序列到第i个点第二个序
4000
列到第j个点的这段区域内的最长公共子序列。

1.如果a[i]=b[j],也就是当前两个字母相等，那么f[i][j]=f[i-1][j-1];也就是i-1，j-1这一段的最大值加上新判断的点，很好理解吧！

2.如果a[i]!=b[j],f[i][j]=max{f[i][j-1],f[j][i-1]}.也就是向前面的序列寻找最大值。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[6000][6000]={};
char a[100000],b[100000];
int main()
{
string sa,sb;
cin>>sa>>sb;
for (int i=0;i<sa.length();i++)
a[i+1]=sa[i];
for (int j=0;j<sb.length();j++)
b[j+1]=sb[j];
for (int i=1;i<=sa.length();i++)
for (int j=1;j<=sb.length();j++)
if (a[i]==b[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
cout<<f[sa.length()-1][sb.length()-1];
return 0;
}

3.区间DP-石子合并

根据题意，求的是整个区间的最大值，那么必然要求出更小区间的最大值，从而得到最大值。

因此，我们不妨设f[i][j]第i到j区间的合并的最小值，可以得出：

f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+cost[i][j]);

f[i][k]+f[k+1][j]表示1~k区间和k+1~区间的最优值，cost[i][j]表示合并i~j的花费，同样，资源分配理解后这道题目其实很好理解的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int f[1000][1000]={};
int sum[1000]={};
int a[1000]={};
int cost[1000][1000]={};
int main()
{
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];//前缀和
}
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=i;j<=n;j++)
cost[i][j]=sum[j]-sum[i-1];
for (int len=<
b65e
span class="sh_number" style="color:rgb(169,0,169);">1;len<=n;len++)
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int j=i+len-1;
if (j>n) continue;
for (int k=i;k<j;k++)
if ((f[i][k]+f[k+1][j]+cost[i][j]<f[i][j])||!f[i][j])
f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+cost[i][j];
}
cout<<f[1][n];
return 0;
}