历届试题 矩阵翻硬币

  历届试题 矩阵翻硬币  时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB    问题描述　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。输入格式　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。输出格式　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。样例输入2 3样例输出1数据规模和约定　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。 第一次写这个题目的时候直接用的暴力解法，果然是最后只过了40%的数据。然后就开始找规律，其实静下来想这个题目的规律并不难解首先想着过一遍样例：  题目的意思很清楚。小M提供了一种算法，这里演示一下 n = 2, m = 3矩阵的翻硬币过程(1 表示 正面， 0 表示 反面)
                               

1	1	1
1	1	1

                                               -->(x , y) = (1 , 1)                                                                         x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	0	0
0	0	0

                                               -->(x , y) = (1 , 2)
                                                x的倍数行,y的倍数列要翻转

0	1	0
0	1	0

                                               -->(x , y) = (1 , 3)

0	1	1
0	1	1

                                               -->(x , y) = (2 , 1)

0	1	1
1	0	0

                                               -->(x , y) = (2 , 2)

0	1	1
1	1	0

                                               -->(x , y) = (2 , 3)

0	1	1
1	1	1

   （此处题解出自http://blog.csdn.net/h_hui_hui/article/details/55113233）
可以发现对于奇数次的翻转是由反面变成正面的。
（x,y）若两个都是奇数个因数的话那么也就是开始的时候就是反面开始，也就是翻转次数和他的约数个数有关系。
当x，y的约数都是奇数个的情况下是所求反面的数，（1,1）必然是。
而约数是奇数个的数必然是k^2的情况。
故解便是sqrt（x）*sqrt（y）；
但是对于10^1000的数便是求大位数解的部分了。
此处的求大位数相乘和求大位数的根都是很好的样例#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

string strMutiply(string str1, string str2)
{
string strResult = "";
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();

int i = 0, j = 0;
int ans[1005]; //先用数组计算，较方便
memset(ans, 0, sizeof(ans));

for(i = len1 - 1; i >= 0; i--)
{
for(j = len2 - 1; j >= 0; j--)
{
ans[i + j + 1] += (str1[i] - '0') * (str2[j] - '0');
}
}
for(i = len1 + len2 -1; i > 0 ; i--)
{
ans[i-1] += ans[i] / 10;
ans[i] = ans[i] % 10;
}
i=0;
while(ans[i] == 0) i++;
for(j = i; j <= len1 + len2 -1; j++)
{
strResult += ans[j] + '0';
}
return strResult;
}

int compare(string str1, string str2, int pos)
{
int len1 = str1.length();
int len2 = str2.length();
if(len1 + pos > len2) return 1;
else if(len1 + pos < len2) return 0;
else
{
for(int i = 0; i < len1; i ++)
{
if(str1[i]-'0' > str2[i]-'0') return 1;
if(str1[i]-'0' < str2[i]-'0') return 0;
}
}
return 0;
}

string strSqrt(string str)
{
string strResult = "";
int len = str.length();
int i, j;

if(len % 2 == 0) //str偶数位
{
//cout << "111" <<endl;
for(i = 0; i < len/2; i++)
{
for(j = 1; j < 10; j++)
{
string str1 = strResult;
str1 += j + '0';
if(compare(strMutiply(str1, str1), str, 2 * (len / 2 - i - 1)) == 1)
{
strResult += j - 1 + '0';
break;
}
}
if(j == 10) strResult += '9';
}
}
else
{
//cout << "2222 "<<endl;
for(i = 0; i < len/2 + 1; i++)
{
for(j = 1; j < 10; j++)
{
string str1 = strResult;
str1 += j + '0';
if(compare(strMutiply(str1, str1), str, 2 * (len / 2 - i)) == 1)
{
strResult += j - 1 + '0';
break;
}
}
if(j == 10) strResult += '9';
}
}
//cout << strResult << endl;
return strResult;
}

int main()
{
string str1;
string str2;
cin >> str1 >> str2;
//cout << strMutiply(str1, str2) << endl;
cout << strMutiply(strSqrt(str1), strSqrt(str2)) << endl;
return 0;
}