UVa 11427 Expect the Expected (数学期望 + 概率DP)
2018-03-05 22:00
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题意:某个人每天晚上都玩游戏,如果第一次就䊨了就高兴的去睡觉了,否则就继续直到赢的局数的比例严格大于 p,并且他每局获胜的概率也是 p,但是你最玩 n 局,但是如果比例一直超不过 p 的话,你将不高兴的去睡觉,并且以后再也不玩了,现在问你,平均情况下他玩几个晚上游戏。
析:先假设第一天晚上就不高兴的去睡觉的概率是 q,那么有期望公式可以得到 E = q + (1-q) * (E + 1),其中 E 就是数学期望,那么可以解得 E = 1/ q,所以答案就是 1 / q,这个公式是什么意思呢,把数学期望分成两类,第一类就是第一天晚上就不再玩了,概率是 q,期望就是 1,第二类就是第一天高兴的睡觉,概率就是 1 - q,期望就是 E + 1。现在问题就是怎么求 q,这就是一个概率DP,dp[i][j] 表示玩 i 局,胜了 j 局的概率,并且要保证,胜的比例不超过 p,这样最后把所有的概率加起来就是数学期望,转移方程是 dp[i][j] = dp[i-1][j] * (1-p) + dp[i-1][j-1] * p。
代码如下:
析:先假设第一天晚上就不高兴的去睡觉的概率是 q,那么有期望公式可以得到 E = q + (1-q) * (E + 1),其中 E 就是数学期望,那么可以解得 E = 1/ q,所以答案就是 1 / q,这个公式是什么意思呢,把数学期望分成两类,第一类就是第一天晚上就不再玩了,概率是 q,期望就是 1,第二类就是第一天高兴的睡觉,概率就是 1 - q,期望就是 E + 1。现在问题就是怎么求 q,这就是一个概率DP,dp[i][j] 表示玩 i 局,胜了 j 局的概率,并且要保证,胜的比例不超过 p,这样最后把所有的概率加起来就是数学期望,转移方程是 dp[i][j] = dp[i-1][j] * (1-p) + dp[i-1][j-1] * p。
代码如下:
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