1.1.1最短路(Floyd、Dijstra、BellmanFord)
2018-03-04 18:38
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[一、Dijkstra
比较详细的迪杰斯特拉算法讲解传送门Dijkstra单源最短路算法,即计算从起点出发到每个点的最短路。所以Dijkstra常常作为其他算法的预处理。
使用邻接矩阵的时间复杂度为O(n^2),用优先队列的复杂度为O((m+n)logn)近似为O(mlogn)
(一) 过程
每次选择一个未访问过的到已经访问过(标记为Known)的所有点的集合的最短边,并用这个点进行更新,过程如下:Dv为最短路,而Pv为前面的顶点。
初始
在v1被标记为已知后的表
下一步选取v4并且标记为known,顶点v3,v5,v6,v7是邻接的顶点,而他们实际上都需要调整。如表所示:
接下来选取v2,v4是邻接点,但已经是known的,不需要调整,v5是邻接的点但不做调整,因为经过v2的值为2+10=12而长为3的路径已经是已知的。
接下来选取v5,值为3,v7 3+6>5不需调整,然后选取v3,对v6的距离下调到3+5=8
再选下一个顶点是v7,v6变为5+1=6
最后选取v6
(二) 局限性
Dijkstra没办法解决负边权的最短路径,如图运行完该算法后,从顶点1到顶点3的最短路径为1,3,其长度为1,而实际上最短路径为1,2,3,其长度为0.(因为过程中先选择v3,v3被标记为已知,今后不再更新)
(三) 算法实现。
1.普通的邻接表 以(HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra)为例用vis作为上面标记的known,dis记录最短距离(记得初始化为一个很大的数)。
(1)Dijkstra+邻接矩阵
#include<cstdio> #include<cstring> const int MAXN=200+10; const int INF=1000000; int n,m,map[MAXN][MAXN],dis[MAXN]; bool vis[MAXN]; void dijkstra(int s) { memset(vis,0,sizeof(vis)); int cur=s; dis[cur]=0; vis[cur]=1; for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) if(!vis[j] && dis[cur] + map[cur][j] < dis[j]) dis[j]=dis[cur] + map[cur][j] ; int mini=INF; for(int j=0;j<n;j++) if(!vis[j] && dis[j] < mini) mini=dis[cur=j]; vis[cur]=true; } } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(int i=0;i<n;i++) { dis[i]=INF; for(int j=0;j<n;j++) map[i][j]=INF; } for(int i=0;i<m;i++) { int from,to,val; scanf("%d%d%d",&from,&to,&val); if(map[from][to] > val) map[to][from]=map[from][to]=val; } int s,t; scanf("%d%d",&s,&t); dijkstra(s); if(dis[t]==INF) printf("-1\n"); else printf("%d\n",dis[t]); } return 0; }
(2)Dijkstra+优先队列
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=200+10; const int MAXM=40000+10; const int INF=1000000; int n,m,dis[MAXN],head[MAXN],len; bool vis[MAXN]; struct edge { int to,val,next; }e[MAXM]; void add(int from,int to,int val) { e[len].to=to; e[len].val=val; e[len].next=head[from]; head[from]=len++; } struct point { int val,id; point(int id,int val):id(id),val(val){} bool operator <(const point &x)const{ return val>x.val; } }; void dijkstra(int s) { memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF; priority_queue<point> q; q.push(point(s,0)); dis[s]=0; while(!q.empty()) { int cur=q.top().id; q.pop(); if(vis[cur]) continue; vis[cur]=true; for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next) { int id=e[i].to; if(!vis[id] && dis[cur]+e[i].val < dis[id]) { dis[id]=dis[cur]+e[i].val; q.push(point(id,dis[id])); } } } } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { len=0; memset(head,-1,sizeof(head)); for(int i=0;i<m;i++) { int from,to,val; scanf("%d%d%d",&from,&to,&val); add(from,to,val); add(to,from,val); } int s,t; scanf("%d%d",&s,&t); dijkstra(s); if(dis[t]==INF) printf("-1\n"); else printf("%d\n",dis[t]); } return 0; }
二、SPFA(bellman-ford)
(一)原理过程
关于SPFA算法详细介绍传送门(二)实现
1.邻接矩阵的SPFA以(HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra)为例:#include<cstdio> #include<queue> using namespace std; const int INF=1000000; const int MAXN=200+10; int n,m; int map[MAXN][MAXN]; int dis[MAXN]; void SPFA(int s) { for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF; bool vis[MAXN]={0}; vis[s]=true; dis[s]=0; queue<int> q; q.push(s); while(!q.empty()) { int cur=q.front(); q.pop(); vis[cur]=false; for(int i=0;i<n;i++) { if(dis[cur] + map[cur][i] < dis[i]) { dis[i]=dis[cur] + map[cur][i]; if(!vis[i]) { q.push(i); vis[i]=true; } } } } } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) map[i][j]=INF; for(int i=0;i<m;i++) { int from,to,dis; scanf("%d%d%d",&from,&to,&dis); if(map[from][to]>dis) map[from][to]=map[to][from]=dis; } int s,t; scanf("%d%d",&s,&t); SPFA(s); if(dis[t]==INF) puts("-1"); else printf("%d\n",dis[t]); } return 0; }
2.SPFA+邻接表
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=200+10; const int MAXM=40000+10; const int INF=1000000; int n,m,dis[MAXN],head[MAXN],len; bool vis[MAXN]; struct edge { int to,val,next; }e[MAXM]; void add(int from,int to,int val) { e[len].to=to; e[len].val=val; e[len].next=head[from]; head[from]=len++; } void spfa(int s) { memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF; queue<int> q; q.push(s); vis[s]=true; dis[s]=0; while(!q.empty()) { int cur=q.front(); q.pop(); vis[cur]=false; for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next) { int id=e[i].to; if(dis[id] > dis[cur]+e[i].val) { dis[id] = dis[cur] + e[i].val; if(!vis[id]) { vis[id]=true; q.push(id); } } } } } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { len=0; memset(head,-1,sizeo fbf4 f(head)); for(int i=0;i<m;i++) { int from,to,val; scanf("%d%d%d",&from,&to,&val); add(from,to,val); add(to,from,val); } int s,t; scanf("%d%d",&s,&t); spfa(s); if(dis[t]==INF) printf("-1\n"); else printf("%d\n",dis[t]); } return 0; }
三、Floyd
全称Floyd-Warshall。记得离散数学里面有Warshall算法,用来计算传递闭包。而数据结构每次都简称floyd,当时就觉得两个都差不多,有神马关系,后来google一下发现是同一个算法。。。。改个名字出来走江湖啊!!!!!这个算法用于求所有点对的最短距离。比调用n次dijkstra的优点在于代码简单。
(一)原理过程
这是一个dp(动态规划的过程)dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
即从顶点i到j且经过顶点k的最短路径长度。
(二)实现
以(HDU 1874 畅通工程续 SPFA || dijkstra)为例#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int MAXN=200+10; const int INF=1000000; int n,m,dis[MAXN][MAXN]; void floyd() { for(int k=0;k<n;k++) for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); } int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) dis[i][j]=INF; for(int i=0;i<m;i++) { int from,to,val; scanf("%d%d%d",&from,&to,&val); if(dis[from][to] > val) dis[to][from]=dis[from][to]=val; } int s,t; scanf("%d%d",&s,&t); if(s==t) { printf("0\n"); continue; } floyd(); if(dis[s][t]==INF) printf("-1\n"); else printf("%d\n",dis[s][t]); } return 0; }
如走迷宫经常用的BFS,以一个点出发,向外扩散。
如:
UVA 10047 - TheMonocycle BFS
HDU 1728逃离迷宫 BFS
POJ3984迷宫问题 BFS
UVA 11624 - Fire!图BFS
除了上面的
HDU 1874畅通工程续 SPFA || dijkstra||floyd
还有:
UVA11280 - Flying to Fredericton SPFA变形
UVA11090 - Going in Cycle!! SPFA
UVA10917 Walk Through the Forest SPFA
POJ 3259Wormholes邻接表的SPFA判断负权回路
POJ 1932XYZZY (ZOJ 1935)SPFA+floyd
UVA11374 Airport Express SPFA||dijkstra
UVA11367 - Full Tank? dijkstra+DP
POJ 1511Invitation Cards (ZOJ 2008)使用优先队列的dijkstra
POJ 3268Silver Cow Party (Dijkstra~)
POJ 2387Til the Cows Come Home (Dijkstra)
UVA10603 - Fill BFS~
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