连续型概率分布，正态分布

一。一维连续型随机变量

P(a<X<b)=P(a⩽X⩽b)P(a<X<b)=P(a⩽X⩽b)

=F(b)−F(a)=∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx

F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt

称F(x)是随机变量X的分布函数，f(x)为X的概率密度

二。性质：

1)f(x)⩾0;f(x)⩾0;

2)∫+∞−∞f(x)dx=1∫−∞+∞f(x)dx=1

3) P{X=a} = 0,

三。重要分布

1).均匀分布

{1b−a,a⩽x⩽b0,others{1b−a,a⩽x⩽b0,others

2).指数分布

3).正态分布

f(x)=12π√σe(x−μ)22σ2(−∞<x<+∞)f(x)=12πσe(x−μ)22σ2(−∞<x<+∞)

μμ 为期望值，σσ 为方差。称X为服从参数为μμ 和σσ的正态分布，简记为

X ~ N(μ,σ2)N(μ,σ2)

4).标准正态分布

当μμ=0时，σσ =1时，称为正态分布。简记为 X ~ N（0，1）。

将一般正态分布做标准化转换

Y=X−μσY=X−μσ ~ N(0,1)

F(x)=Φ(x−μσ)F(x)=Φ(x−μσ)

四。示例

【例1】设随机变量X服从正态分布N（0,1），对给定的αα，数μαμα满足P(X>μα)P(X>μα)，若P(|X|<x)=αP(|X|<x)=α，则 x 等于（）。

(A)μα2μα2

(B)μ1−α2μ1−α2

(C)μ1−α2μ1−α2

(D)μ1−αμ1−α

解：设置信区间分割点为 μαμα

P(|X|<x)=αP(|X|<x)=α

⇒⇒

P(|X|<μα)=αP(|X|<μα)=α

1−2Φ(x)⩽α1−2Φ(x)⩽α

Φ(x)⩾1−α2Φ(x)⩾1−α2

Φ(μα)⩾1−α2Φ(μα)⩾1−α2

所以，μα⩾1−α2μα⩾1−α2

所以，选择(C)

【例2】设电源电压 U ~ N(220,25^2) (单位：V)，通常有3种状态：

(1)不超过200V；

(2)在200V~240V之间；

(3)超过240V。

在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别为0.1；0.001；0.2；

(1)求电子元件损坏的概率αα

(2)在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态。

【解】:

(1)求电子元件损坏的概率αα

由前面博客：条件概率，乘法定理 (概统1)

全概率公式：

P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)P(A)=∑j=1nP(A|Bj)P(Bj)

B1B1 = 电压小于等于200V, U⩽200VU⩽200V

B2B2 = 电压大于200V，小于等于240 ; 200V<U⩽240V200V<U⩽240V

B3B3 = 电压大于240V, 240V<U240V<U

P(A)=∑3j=1P(A|Bj)P(Bj)P(A)=∑j=13P(A|Bj)P(Bj)

P(A|B1)=P(U⩽200V)P(A|B1)=P(U⩽200V)

标准化迁移：

F(x)=Φ(x−μσ)F(x)=Φ(x−μσ)

标准化迁移：μ=220,α=25μ=220,α=25

U∗=U−22025U∗=U−22025

1.1) P(A|B1)P(A|B1)

P(U⩽200V)==>P(U−22025<|200−22025|)P(U⩽200V)==>P(U−22025<|200−22025|)

Ulow=|200−22025|Ulow=|200−22025| = |0.8|

P(UlowUlow)= 0.7881

P(U^*<|-0.8|) , 查标准正态分布表 0.8





0.800 对应 0.7881

P(U^*<|-0.8|) = 1−Φ(0.8)1−Φ(0.8)=1-0.7881 = 0.2119

P(A|B1)=P(U∗⩽Ulow)P(A|B1)=P(U∗⩽Ulow) = 0.2119

1.2) P(A|B2)P(A|B2)

B2B2 = 电压大于200V，小于等于240 ; 200V<U⩽240V200V<U⩽240V

U∗=U−22025U∗=U−22025

Ulow=|200−22025|Ulow=|200−22025| = |0.8| = 0.7881

Uhigh=|240−22025|Uhigh=|240−22025| = |0.8| = 0.7881



查正态分布表：

0.800 对应 0.7881

Φ(0.8)=0.7881Φ(0.8)=0.7881

P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2)P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2)

P(α1)=1−0.7881=0.2119P(α1)=1−0.7881=0.2119

P(α2)=1−0.7881=0.2119P(α2)=1−0.7881=0.2119

P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2)P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2)

=1-0.2119-0.2119 = 0.5762

P(A|B2)=P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=0.5762P(A|B2)=P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=0.5762

1.3) P(A|B3)P(A|B3)

B3B3 = 电压大于240V, 240V<U240V<U

U∗=U−22025U∗=U−22025

Uhigh=|240−22025|Uhigh=|240−22025| = |0.8| = 0.7881

P(A|B3)=P(U∗>Uhigh)P(A|B3)=P(U∗>Uhigh) = P(α2)=1−0.7881=0.2119P(α2)=1−0.7881=0.2119

所以，电子元件损坏的概率

α=P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj)α=P(A)=∑j=1nP(A|Bj)P(Bj)

=P(A|B1)∗P(B1)+P(A|B2)∗P(B2)+P(A|B3)∗P(B3)=P(A|B1)∗P(B1)+P(A|B2)∗P(B2)+P(A|B3)∗P(B3)

=0.2119*0.1 + 0.5762*0.001 +0.2119*0.2

≈0.0624≈0.0624

(2)在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态。

根据题意，元件损坏的条件分三种电压状态

如果所求元件损坏的概率是P(A)， 那么，元件损坏时，电压所处有3种状态，所以，就是求

P(B1|A)

P(B2|A)

P(B3|A)

P(B1|A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0.2119∗0.10.0624=0.34P(B1|A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0.2119∗0.10.0624=0.34

P(B2|A)=P(A|B2)P(B2)P(A)=0.5162∗0.0010.0624=0.0083P(B2|A)=P(A|B2)P(B2)P(A)=0.5162∗0.0010.0624=0.0083

P(B3|A)=P(A|B3)P(B3)P(A)=0.2119∗0.20.0624=0.68P(B3|A)=P(A|B3)P(B3)P(A)=0.2119∗0.20.0624=0.68

【例3】 某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩 X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)。已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取。

【解】分析，若已知正态分布，则只需知道分布函数上面两个点，就可以求出正态分布的μμ和σσ，已知μμ和σσ，又知道录取率，就可以求得

XhXh，看看某人成绩是否大于 XhXh



Φ(x1−μσ)=p1Φ(x1−μσ)=p1

Φ(x2−μσ)=p2Φ(x2−μσ)=p2

Φ(90−μσ)=12526=0.0228Φ(90−μσ)=12526=0.0228

Φ(60−μσ)=83526=0.158Φ(60−μσ)=83526=0.158

Φ(X>X90+)=0.0228Φ(X>X90+)=0.0228

Φ(X⩽X90+)=1−0.0228=0.9772Φ(X⩽X90+)=1−0.0228=0.9772

反查表，0.0228，得正态分布随机表量

Φ(X⩽X90+)=0.9772Φ(X⩽X90+)=0.9772 ,

X_{90+}= 2.0

x1−μσ=2.0x1−μσ=2.0

90−μσ=2.090−μσ=2.0 (1)

注意：依题意，μμ会介于90分和60分之间

Φ(X⩽X60−)=0.158Φ(X⩽X60−)=0.158

Φ(X>X60−)=1−0.158=0.8412Φ(X>X60−)=1−0.158=0.8412

反查表，0.8412对应

X_{60-} = 1.0

−(x2−μ)σ=1.0−(x2−μ)σ=1.0

−(60−μ)σ=1.0−(60−μ)σ=1.0 (2)

(1)和(2)解联立方程，得

μ=70，σ=10μ=70，σ=10

设录取分数线为 XhXh

Φ(Xh−μσ)=155526Φ(Xh−μσ)=155526 = 0.295

P(X<Xh∗)=1−Φ(Xh∗)=1−0.295=0.705P(X<Xh∗)=1−Φ(Xh∗)=1−0.295=0.705

反查表，得

X_h*=0.54

Xh∗=Xh−μσXh∗=Xh−μσ =0.54

X_h=75.4

所以，得到分数线为X_h=75分

回答问题，某人78分，大于分数线75分，可以被录取。