蓝桥杯 算法提高 矩阵乘法 【经典区间dp】

算法提高 矩阵乘法

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问题描述

　　有n个矩阵，大小分别为a0*a1, a1*a2, a2*a3, …, a[n-1]*a
，现要将它们依次相乘，只能使用结合率，求最少需要多少次运算。

　　两个大小分别为p*q和q*r的矩阵相乘时的运算次数计为p*q*r。

输入格式

　　输入的第一行包含一个整数n，表示矩阵的个数。

　　第二行包含n+1个数，表示给定的矩阵。

输出格式

　　输出一个整数，表示最少的运算次数。

样例输入

3

1 10 5 20

样例输出

150

数据规模和约定

　　1<=n<=1000, 1<=ai<=10000。

题意： 给你数组p，给你n个矩阵，第i个矩阵 记为Ai,其长宽为：p[i−1]∗p[i]Ai,其长宽为：p[i−1]∗p[i],让你计算n个矩阵相乘后的最小运算数，且两个大小分别为p*q和q*r的矩阵相乘时的运算次数计为p*q*r。

分析：此题是很经典的区间dp问题，先简单普及下，矩阵相乘的运算次数

以矩阵链{A1,A2,A3}为例，假设三个矩阵的规模分别为10X100，100X5和5X50。

以矩阵链 {A1,A2,A3} 为例，假设三个矩阵的规模分别为10X100，100X5和5X50。

①以((A1*A2)*A3)方式划分，乘法执行次数为：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次

我们可以发现，对于同样的矩阵链A1,A2,A3相乘而言，不同的划分，乘法次数居然相差10倍。

我们用

dp[l][r]代表矩阵l 连续相乘到 r 的最小运算数，我们可以得到动态方程为

dp[l][r] = min(dp[l][r],dp[l][k] + dp[k + 1][r] + a[l - 1]*a[k]*a[r]

其中 k 代表将

{l···r}

原矩阵分割成

{l··k}*{k+1···r}

两小矩阵相乘

具体原理请看这里

参考代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
const ll INF_LL = 9223372036854775807LL;

const ll maxn = 1e3 + 10；

ll a[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for (int i = 0; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
}
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = i; j <= n; j++) {
if(i == j) {
dp[i][j] = 0;
} else {
dp[i][j] = INF_LL;
}
}
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int l = 1; l <= n - i + 1; l++) {
int r = l + i - 1; // 枚举 左端 和 右端
for (int k = l; k < r; k++) { //枚举分割点
dp[l][r] = min (dp[l][r], dp[l][k] + dp[k + 1][r] + a[l - 1]*a[k]*a[r]);
}
}
}
cout<<dp[1]
<<endl;
return 0;
}