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[BZOJ1492]-[NOI2007]货币兑换Cash-斜率优化+CDQ

2018-02-14 20:24 543 查看

说在前面

自己居然蠢到连凸包都可以写错,没救了…

题目

BZOJ1492传送门

这题面太长= =

幸好不是权限题,看题可以进传送门

解法

关于dp式子的推导,在me另一篇动态凸包的题解里,附传送门

假设已经推出转移式,大概是这样dp[i]=A[i]∗x+B[i]∗ydp[i]=A[i]∗x+B[i]∗y(其中x=Rate[j]∗dp[j]A[j]∗Rate[j]+B[j]x=Rate[j]∗dp[j]A[j]∗Rate[j]+B[j],y=dp[j]A[j]∗Rate[j]+B[j]y=dp[j]A[j]∗Rate[j]+B[j])

这个式子直接上的复杂度是Θ(N2)Θ(N2)的,时间复杂度不能承受,于是考虑优化。发现转移式是一个直线的表达式,于是想到斜率优化。对式子进行移项,得到y=−A[i]B[i]x+dp[i]B[i]y=−A[i]B[i]x+dp[i]B[i],其中,我们希望纵截距尽可能大。显然这样的点(x,y)一定在凸包上。

但是这个式子的x和y都不单调,不能用单调队列或者单调栈进行优化,于是可以采用splay维护动态凸包,每次询问就在凸包里二分找到最优的点。然后将新得到的这个点插入凸包中即可。

当然,还有一种更简单的方法,CDQ分治。因为i只能由1到i-1转移过来,于是可以先递归处理左区间,用左区间更新右区间的答案,然后再递归处理右区间。因为左区间的dp值已经求出了,所以可以作出凸包,而右区间的询问按照斜率从大到小排序,这样就可以用两个指针扫一扫完成更新。

左区间的凸包需要x有序,这一步可以用类似归并的思想,右区间询问的顺序也可以预先跑一遍归并处理出来。这样总时间复杂度是Θ(NlogN)Θ(NlogN)的。(当然也可以在每一层都sort一遍,上界Θ(Nlog2N)Θ(Nlog2N)也可以过)

关于凸包,凸包只要叉乘小于等于0就必须出栈,因为等于0的情况可能是两个点重在一起,如果后面有更优的点,这两个点就无法出栈了

下面是代码

/**************************************************************
Problem: 1492
User: Izumihanako
Language: C++
Result: Accepted
Time:968 ms
Memory:16448 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

int N , seq[18][100005] ;
double dp[100006] , A[100005] , B[100005] , R[100006] , slo[100005] ;
struct Point{
double x , y ;
} p[100005] , cvx[100005] , tmp[100005] ;

typedef Point Vector ;
Vector operator + ( const Vector &A , const Vector &B ){ return ( Vector ){ A.x + B.x , A.y + B.y } ; }
Vector operator - ( const Vector &A , const Vector &B ){ return ( Vector ){ A.x - B.x , A.y - B.y } ; }
double cross( const Vector &A , const Vector &B ){ return A.x * B.y - A.y * B.x ; }
double slope( const Point &A , const Point &B ){ return ( B.y - A.y ) / ( B.x - A.x ) ; } ;

void mergeSort( int dep , int lf , int rg ){
if( lf == rg ) return ( void )( seq[dep][lf] = lf ) ;
int mid = ( lf + rg ) >> 1 , Lpt = lf , Rpt = mid + 1 , pt = lf ;
mergeSort( dep + 1 , lf , mid ) ;
mergeSort( dep + 1 , mid+1,rg ) ;
while( Lpt <= mid && Rpt <= rg ){
if( slo[ seq[dep+1][Lpt] ] >= slo[ seq[dep+1][Rpt] ] )
seq[dep][pt] = seq[dep+1][Lpt] , Lpt ++ , pt ++ ;
else
seq[dep][pt] = seq[dep+1][Rpt] , Rpt ++ , pt ++ ;
}
while( Lpt <= mid ) seq[dep][pt] = seq[dep+1][Lpt] , pt ++ , Lpt ++ ;
while( Rpt <=  rg ) seq[dep][pt] = seq[dep+1][Rpt] , pt ++ , Rpt ++ ;
}

void CDQ( int dep , int lf , int rg ){
if( lf == rg ){
dp[lf] = max( dp[lf] , dp[lf-1] ) ;
double tmp = dp[lf] / ( A[lf] * R[lf] + B[lf] ) ;
p[lf] = ( Point ){ R[lf] * tmp , tmp } ;
return ;
}
int mid = ( lf + rg ) >> 1 , topp = 0 ;
CDQ( dep + 1 , lf , mid ) ;
// convex
for( int i = lf ; i <= mid ; i ++ ){
while( topp > 1 && cross( p[i] - cvx[topp-1] , cvx[topp] - cvx[topp-1] ) <= 0 ) topp -- ;
cvx[++topp] = p[i] ;
}
// update dp[]
for( int i = mid + 1 , pt = 1 ; i <= rg ; i ++ ){
int id = seq[dep][i] ;
while( pt < topp && slope( cvx[pt] , cvx[pt+1] ) > slo[id] ) pt ++ ;
dp[id] = max( dp[id] , A[id] * cvx[pt].x + B[id] * cvx[pt].y ) ;
}
CDQ( dep + 1 , mid+1,rg ) ;
//sort point by x , preparing for upper
int Lpt = lf , Rpt = mid + 1 , pt = lf ;
while( Lpt <= mid && Rpt <= rg ){
if( p[Lpt].x <= p[Rpt].x ) tmp[pt] = p[Lpt] , pt ++ , Lpt ++ ;
else                       tmp[pt] = p[Rpt] , pt ++ , Rpt ++ ;
}
while( Lpt <= mid ) tmp[pt] = p[Lpt] , pt ++ , Lpt ++ ;
while( Rpt <=  rg ) tmp[pt] = p[Rpt] , pt ++ , Rpt ++ ;
for( int i = lf ; i <= rg ; i ++ ) p[i] = tmp[i] ;
}

void solve(){
mergeSort( 0 , 1 , N ) ;
CDQ( 1 , 1 , N ) ;
printf( "%.3f" , dp
) ;
}

int main(){
scanf( "%d%lf" , &N , &dp[0] ) ;
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ){
scanf( "%lf%lf%lf" , &A[i] , &B[i] , &R[i] ) ;
slo[i] = - A[i] / B[i] ;
}
solve() ;
}
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