[BZOJ1492][NOI2007]货币兑换Cash && CDQ分治+斜率优化

这种分治思想我也是醉了Orz

首先对于这道题 我们可以发现 如果某一天你要买进或卖出 那一定是尽可能的买或卖

那么我们就可以用一个状态f[i]表示某一天的最大收益

那么就有 f[i] = (rate[j] * f[j] * a[i] + f[j] * b[i]) / (rate[i] * a[i] + b[i]

那么朴素转移就很容易了 怎样优化呢

令

y[j] = f[j] / (rate[i] * a[i] + b[i])

x[j] = rate[j] * f[j] / (rate[i] * a[i] + b[i]) = rate[j] * y[j];

则有 f[i] = a[i] * x[j] + b[i] * y[j];

假设决策点j 优于 决策点k 并且 j < k 当且仅当

(y[k] - y[j]) / (x[k] - x[j]) < -a[i] / b[i]

我们可以将所有 -a[i] / b[i] 从大到小排序 那么就维护一个斜率单调递减的凸包

然后就是CDQ分治了 步骤如下

1. 把区间分成两段 得到mid

2. 在原序列中小于mid的部分 进行递归

3. 当L == R 时返回答案

4. 得到答案后 维护刚刚求解部分加入后的凸包 并用他们更新mid+1到R部分的f值

5. 递归处理右子区间

话虽这么说我还是感觉很难啊QAQ

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
using namespace std;
typedef long long LL;
const double eps = 1e-9;
const double INF = 1e20;
const int MAXN = 100000;
int n, sta[MAXN+10], top, S;
double f[MAXN+10];
struct Node {
    double x, y, a, b, rate, k;
    int id;
    bool operator < (const Node &t) const {
        return k > t.k;
    }
} A[MAXN+10], tmp[MAXN+10];
double slope(int i, int j) {
    if(!j) return -INF;
    if(fabs(A[i].x - A[j].x) < eps) return INF;
    return (A[j].y - A[i].y) / (A[j].x - A[i].x);
}
void CDQ(int L, int R) {
    if(L == R) {
        f[L] = max(f[L], f[L-1]);
        A[L].y = f[L] / (A[L].a * A[L].rate + A[L].b);
        A[L].x = A[L].rate * A[L].y;
        return ;
    }
     
    int mid = (L + R) >> 1, l1 = L, l2 = mid+1;
    for(int i = L; i <= R; i++) {
        if(A[i].id <= mid) tmp[l1++] = A[i];
        else tmp[l2++] = A[i];
    }
    for(int i = L; i <= R; i++) A[i] = tmp[i];
    CDQ(L, mid);
    top = 0;
    for(int i = L; i <= mid; i++) {
        while(top > 1 && slope(sta[top-1], sta[top]) < slope(sta[top-1], i) + eps) top--;
        sta[++top] = i;
    }
    sta[++top] = 0;
    int j = 1;
    for(int i = mid+1; i <= R; i++) {
        while(j < top && slope(sta[j], sta[j+1]) + eps > A[i].k) j++;
        f[A[i].id] = max(f[A[i].id], A[sta[j]].x * A[i].a + A[sta[j]].y * A[i].b);
    }
    CDQ(mid+1, R);
    l1 = L; l2 = mid+1;
    for(int i = L; i <= R; i++) {
        if(l1 <= mid && (l2 > R || A[l1].x < A[l2].x || (fabs(A[l1].x - A[l2].x) < eps && A[l1].y < A[l2].y)))
            tmp[i] = A[l1++];
        else tmp[i] = A[l2++];
    }
    for(int i = L; i <= R; i++) A[i] = tmp[i];
}
int main() {
    SF("%d%d", &n, &S);
    f[0] = S;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        SF("%lf%lf%lf", &A[i].a, &A[i].b, &A[i].rate);
        A[i].k = -A[i].a / A[i].b;
        A[i].id = i;
    }
    sort(A+1, A+1+n);
    CDQ(1, n);
    PF("%.3f", f
);
    return 0;
}