POJ1664. 放苹果（DP）

放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。
Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。
Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。
Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

Source

lwx@POJ

【分析】根据题意，我们可以记dp[m]
为 m个苹果放到n个盘子里面，最多的分法数

        此问题可分为两个子问题：

（1）m<n时，由于“顺序无关”，因此m个苹果放到n个盘子里面 和
m个苹果放到m个盘子里面的情形是一样的，即dp[m]
即dp[m][m]；

        此时的状态转移方程为：dp[m]
=dp[m][m]；

（2）当m>=n时，可以根据是否有盘子为空，分为两种放法：

        ①n个盘子都不为空，则相当于先将n个苹果逐个、依次放入n个盘子中，剩下的m-n个苹果再任意放入n个盘子中。也就是说，m-n个苹果放n个盘子里面，有dp[m-n]
种放法。

        ②至少有一个盘子为空，即相当于“撤掉”一个盘子后再放苹果的情形，此时有dp[m][n-1]种放法。

   放法总数即上述①②两种情形之和。

        此时的状态转移方程为dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]。

        需要注意以下4个边界条件：

          ①苹果数m=0，盘子数1~n：此时“什么都不做”，相当于1种方案；

          ②苹果数m=1，盘子数1~n：此时可将这个苹果放到任何一个盘子中，因“顺序无关”，故有且仅有1种方案；

   ③苹果数1~m，盘子数n=0：此时“什么都不做”，相当于1种方案；

   ④苹果数1~m，盘子数n=1：此时只能将所有苹果放到仅有的1个盘子中，故有且仅有1种方案。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxm=15;
const int maxn=15;
int t;
int M,N;
int dp[maxm][maxn]={0}; //dp[i][j]-i个苹果放到j个盘子中的最多分法
int main()
{
int i,j;
//打表
for(j=1;j<=maxn;j++)
{
dp[0][j]=1;
dp[1][j]=1;
}
for(i=1;i<=maxm;i++)
{
dp[i][0]=1;
dp[i][1]=1;
}
for(i=2;i<=maxm;i++)
{
for(j=2;j<=maxn;j++)
{
if(i<j)
dp[i][j]=dp[i][i];
else
dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
}
}
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d %d",&M,&N);
printf("%d\n",dp[M]
);
}
return 0;
}