【动态规划】 ◆CodeForce 461B◆ Appleman and Tree

◆CodeForce 461B◆

Appleman and Tree

本期语录：不求甚解，如同从叶节点倒回到根节点，只知道解决一道题的路径；回归问题的本质，再加以分类，才能清晰地从根节点找到每一个叶节点，从而解析这一类算法的每一个类型。

□谈一谈感想□

现学先写，我刚听完某两位 dalao 对本题的讲解我就开始写 Blog 了……其实是因为我怕我过久了忘掉（T^T）。因为两位 dalao 边讲边在小声地互相讨论，弄得我一脸懵逼，这篇 Blog 里面可能有一些东西的描述有些问题，感想大家指出！

听完题解过后老师笑呵呵地对我们说这是B题（Oh!Terrible!），我还是不要去 CodeForce 的比赛了 ╮(╯﹏╰）╭

□题目□

Description

Appleman has a tree with n vertices. Some of the vertices (at least one) are colored black and other vertices are colored white.

Consider a set consisting of k (0 ≤ k < n) edges of Appleman’s tree. If Appleman deletes these edges from the tree, then it will split into (k + 1) parts. Note, that each part will be a tree with colored vertices.

Now Appleman wonders, what is the number of sets splitting the tree in such a way that each resulting part will have exactly one black vertex? Find this number modulo 1000000007 (109 + 7).

Input

The first line contains an integer n (2  ≤ n ≤ 105) — the number of tree vertices.

The second line contains the description of the tree: n - 1 integers p0, p1, …, pn - 2 (0 ≤ pi ≤ i). Where pi means that there is an edge connecting vertex (i + 1) of the tree and vertex pi. Consider tree vertices are numbered from 0 to n - 1.

The third line contains the description of the colors of the vertices: n integers x0, x1, …, xn - 1 (xi is either 0 or 1). If xi is equal to 1, vertex i is colored black. Otherwise, vertex i is colored white.

Output

Output a single integer — the number of ways to split the tree modulo 1000000007 (109 + 7).

Example

Input 1
3
0 0
0 1 1
Output 1
2
Input 2
6
0 1 1 0 4
1 1 0 0 1 0
Output 2
1
Input 3
10
0 1 2 1 4 4 4 0 8
0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
Output 3
27

□大致翻译□

描述

zzh有一棵n个顶点的树。每个顶点要么被涂成了黑色，要么被涂成了白色。

我们考虑删掉k条边，那么这棵树就被分成（k +1）部分。同时，要求，每个部分是都存在黑色的点。

现在，聪明的zzh想要知道，有多少种不同的分割方法，使得分割出来的每个部分恰好只有一个黑点。由于答案可能很大，请对（10^9+7)取模。

输入

第一行包含一个整数n（2≤n≤10^ 5），表示树的顶点数量。

第二行包含了树的描述，有个n-1个非负整数P0，P1，…，Pn-2（0≤PI≤i）。其中pi表示第（i + 1）个点和顶点pi有边。树的顶点编号从0到n - 1。

第三行包含顶点的颜色的描述：n个整数X0，X1，…，Xn-1（xi为0或1）。如果xi为等于1，顶点i被着色成黑色。否则，顶点为白色。

输出

输出有多少种不同的分割方法。(注意取模）

copy from Vjudge(https://vjudge.net/problem/CodeForces-461B#author=prayerhgq)

□解析□

（不过是dalao 们讨论的结果）

1.算法

方法数量……树形结构，这摆明了就是要让我们用树形DP！这是树形DP的类型之一 —— 计数类。

2.建树

我还是一如既往地把树形结构改成了无向图，也就是树形图 —— 原因就是我不想找根！找根真的是一件很麻烦的事，所以定义无向图就可以随意选一个点作为根，所以就要存储一个双向边。这样就需要判断一种情况：


从此陷入死循环……

所以我们在函数的参数表里要定义一个fa（父亲节点），像这样:

DFS(int u,int fa)

（好像透露了什么算法），然后判断u的”儿子”是否是fa，如果是，就说明这是双向边。或者你也可以定义一个bool数组vis，判断当前节点是否访问过，也就是一般的图的遍历判重方法，但是既然有树形图的特殊处理方法，为什么不用呢？

3.深度优先搜索

之前的函数名透露了一切……大多数的树形DP都是深度优先搜索的模板。由于当前u的状态需要由它的儿子v的状态倒推回来，所以我们需要先求出v的状态再计算u。

4.动态规划

状态定义（不解释）：dp[i][0]：以i为根的子树里全是白色的情况下的方案数；dp[i][1]：以i为根的子树里只含有一个黑色节点的情况下的方案数。

那么就会针对u节点的颜色分类：

1. 黑色

u节点是黑色，就说明它的子树（包括u）里不可能全部是白色！所以这种情况dp[u][0]为0。那么现在就需要对u的儿子的颜色进行讨论——若儿子v为根的子树含有一个黑色节点，则它的方案数应该是dp[v][1]、dp[v][0]=0；否则是 dp[v][0]、dp[v][1]=0。综合一下，就是dp[v][1]+dp[v][0]。又根据乘法原理——u的方案总数就是

∏tree[u].size()i=0(dp[vi][1]+dp[vi][0])∏i=0tree[u].size()(dp[vi][1]+dp[vi][0])

2. 白色

这样就很麻烦了……根节点是白色并不意味着它的子树的节点都是白色，所以需要分黑白两类！现在就需要处理儿子v的子树的颜色的情况：

令除v之外的所有儿子都是白色的方案数为F1，那么此情况的方案总数就是 F1*dp[v][1]；

令除v以外的所有儿子包含一个黑色的方案总数为F2，那么可以选择隔开此子树，连接子树v，或者隔开子树v，连接另一个子树，此情况的方案总数为 F2*(dp[v][0]+dp[v][1])；

有没有一点奇怪？F1？F2？好像F1就是dp[u][0]，F2就是dp[u][1]（状态定义）。

□代码□

（不能让你们copy！！除非你们有耐心抄代码……(￣▽￣)／）



老师告诉我们代码要自己理解了再默写( • ̀ω•́ )✧

The End

Thanks for reading!

-Lucky_Glass