您的位置:首页 > 移动开发

CSAPP 之 DataLab 详解

2022-05-07 12:50 3623 查看

前言

本篇博客将会剖析 CSAPP - DataLab 各个习题的解题过程,加深对 int、unsigned、float 这几种数据类型的计算机表示方式的理解。

DataLab 中包含下表所示的 12 个习题,其中 9 个和整数有关,3个和单精度浮点数有关。

函数名 功能描述 分数 操作符
bitXor(x, y) 使用 & 和 ~ 实现异或操作 1 14
tmin() 补码的最小值 1 14
isTmax(x) x 是否为补码的最大值 1 10
allOddBits(x) x 的奇数位是否全为 1 2 12
negate(x) 不使用 - 计算 x 的相反数 2 5
isAsciDigit(x) x 是否在 [0x30, 0x39] 区间内 3 15
conditional 实现条件运算符,x ? y : z 3 16
isLessOrEqual(x, y) x 是否小于等于 y 3 24
logicalNeg(x) 不使用 ! 计算逻辑非 4 12
howManyBits(x) 表示 x 的最少补码位数 4 90
floatScale2(uf) 计算无符号数 uf 所表示的浮点数的 2 倍值 4 30
floatFloat2Int(uf) 将无符号数 uf 所表示的浮点数转为整数 4 30
floatPower2(x) 计算 2^x 4 30

解题

整数题目

整数题目对代码的要求比较严格,不允许使用超过 0xFF 的整数字面量,也不能使用 if、while 等关键字,只能使用最基本的加法和位操作实现所需功能。

bitXor(x, y)

题目要求只使用 ~ 和 & 实现异或,我们只需用德摩根定律对异或的布尔表达式做一下变换即可:

x\oplus y = \bar{x}y+x\bar{y} = \overline{\overline{\bar{x}y} \cdot \overline{x\bar{y}} }

有了上面的式子之后就很简单了,代码如下:

/*
* bitXor - x^y using only ~ and &
*   Example: bitXor(4, 5) = 1
*   Legal ops: ~ &
*   Max ops: 14
*   Rating: 1
*/
int bitXor(int x, int y) {
return ~(~(~x & y) & ~(x & ~y));
}

tmin()

对于 4 个字节的有符号数,T_{min}=-2^{32-1}=0b10\cdots0,只需将 1 左移 31 位即可得到。

/*
* tmin - return minimum two's complement integer
*   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 4
*   Rating: 1
*/
int tmin(void) {
return 1 << 31;
}

isTmax(x)

对于 4 个字节的有符号数,T_{max}=2^{32-1}-1=0b01\cdots1,题目不允许使用移位操作,所以有必要利用一下 T_{max} 的性质来解题:

T_{max}=0b01\cdots1=\sim 0b10\dots0=\sim T_{min}\\ -T_{min}=\sim T_{min}+1=T_{min}

也就是说,如果 x 是 T_{max} ,只需对它按位取反,再判断它满不满足相反数即自身这个性质即可。但是除了 T_{min} 之外,0(\sim-1=\sim0b1\cdots1=0) 也满足相反数即自身这一特点,所以需要将其排除。代码如下:

/*
* isTmax - returns 1 if x is the maximum, two's complement number,
*     and 0 otherwise
*   Legal ops: ! ~ & ^ | +
*   Max ops: 10
*   Rating: 1
*/
int isTmax(int x) {
int y = ~x;
int y_ = ~y + 1;
int isZero = !(y ^ 0);
return !isZero & !(y ^ y_);
}

allOddBits(x)

对于所有奇数位都是 1 的整数,一定满足下式:

x = 0b1x_{30}1x_{28}\cdots1x_{0}, 其中 x_{2i}\in \{0, 1\}\\ x\ |\ (x \gg 1)=0b11\cdots 1

将 x 按位或右移 1 位的 x 一定可以得到每位都是 1 的整数,也就是 -1。但是有一个例外,当 x 为 0b1101(这里自取 4 位,方便理解)时,虽然他没有满足所有奇数位都是 1 的要求,但是仍然有 x\ |\ x\gg1=1101 | 1110=1111,所以我们有必要将 x 中的 4 的整数倍位清 0,即 x_{4i}=0,由于这些都是偶数位,所以不必有任何的顾虑。

只需将 x\& 0xEEEEEEEE 就能做到上述的清零操作,整数实验不允许使用大于 255 即 0xFF 的字面量,所以我们只能通过移位来构造 0xEEEEEEEE,代码如下:

/*
* allOddBits - return 1 if all odd-numbered bits in word set to 1
*   where bits are numbered from 0 (least significant) to 31 (most significant)
*   Examples allOddBits(0xFFFFFFFD) = 0, allOddBits(0xAAAAAAAA) = 1
*   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 12
*   Rating: 2
*/
int allOddBits(int x) {
int mask = 0xEE + (0xEE << 8);
mask = mask + (mask << 16);
int y = x & mask;
int z = y | (y >> 1);
return !(~z ^ 0);
}

negate(x)

要计算相反数,只需按位取反之后再加 1 即可。

/*
* negate - return -x
*   Example: negate(1) = -1.
*   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 5
*   Rating: 2
*/
int negate(int x) {
return ~x + 1;
}

isAsciiDigit(x)

这题要判断 x 是否为 Ascii 码 0~9 中的某一个,即要求 0x30\le x \le 0x39,可以分两步实现判断。

首先判断低 4 位 x_3x_2x_1x_0 是否在 09 范围内。当 x_3 为 0 时,低 4 位在 07 范围内;当 x_3 为 1 时,只要 x_2 和 x_1 为 0,低四位就在 8~9 范围内。由此得到的布尔表达式为:

A=\bar{x}_3+x_3\bar{x}_2 \bar{x}_1

接着判断 x_7x_6x_5x_4 是否为 3,只要将 x 右移 4 位之后异或 3 再逻辑取反就能得到判断结果。

/*
* isAsciiDigit - return 1 if 0x30 <= x <= 0x39 (ASCII codes for characters '0'
* to '9') Example: isAsciiDigit(0x35) = 1. isAsciiDigit(0x3a) = 0.
*            isAsciiDigit(0x05) = 0.
*   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 15
*   Rating: 3
*/
int isAsciiDigit(int x) {
// 判断低 4 位是否在 0~9 范围内
int is0To9 = !((x & 8) ^ 0) + !((x & 14) ^ 8);
// 判断高 4 位是否为 3
int isThree = !((x >> 4) ^ 3);
return is0To9 & isThree;
}

conditional(x, y)

要实现

w = x : y ? z
,只需实现函数 f(x, y, z)=z\ \&\ g(x)+y\ \& \ \sim g(x),其中 g(x) 满足下式:

g(x)=\left\{ \begin{aligned} 0b11\cdots 1 \quad & x=0 \\ 0b00\cdots 0 \quad & x\neq 0 \end{aligned} \right.

要实现 g(x),只需先将 x 异或 0,如果 x 为 0,结果就是 0,否则为非 0 数,接着再逻辑取反,得到的数不是 1 就是 0,再按位取反并加 1,就能得到 g(x)。代码如下:

/*
* conditional - same as x ? y : z
*   Example: conditional(2,4,5) = 4
*   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 16
*   Rating: 3
*/
int conditional(int x, int y, int z) {
int mask = ~(!(x ^ 0)) + 1;
return (y & ~mask) + (z & mask);
}

isLessOrEqual(x, y)

比较两个数的大小,首先应该比较符号位。如果 x 为正,y 为负,直接返回 0;如果如果 x 为负,y 为正,直接返回 1。

如果 x 和 y 同号,则判断 z=x-y\le0 是否成立。由于题目不允许使用减号操作符,所以换成判断 z=x+(-y)=x+(\sim y+1)\le 0。只要 z 的符号位为 1,x 就小于 y,如果 z 为 0,说明 x 等于 y。

/*
* isLessOrEqual - if x <= y  then return 1, else return 0
*   Example: isLessOrEqual(4,5) = 1.
*   Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 24
*   Rating: 3
*/
int isLessOrEqual(int x, int y) {
// 获取符号位
int signX = (x >> 31) & 1;
int signY = (y >> 31) & 1;

// 大小比较
int z = x + (~y + 1);
int isLe = !((z & (1 << 31)) ^ (1 << 31)) | !(z ^ 0);

return (!(~signX & signY)) & ((signX & ~signY) | isLe);
}

logicalNeg(x)

逻辑取反,x 非 0 返回 0,x 为 0 返回 1。在实现 isTmax(x) 时,我们说过 0 满足 -0=0,即 0\ |\ (\sim0+1) 得到的结果还是 0。而其他非 0 数按位或自己的相反数,符号位一定会是 1。由此可以写出逻辑非的代码:

/*
* logicalNeg - implement the ! operator, using all of
*              the legal operators except !
*   Examples: logicalNeg(3) = 0, logicalNeg(0) = 1
*   Legal ops: ~ & ^ | + << >>
*   Max ops: 12
*   Rating: 4
*/
int logicalNeg(int x) {
return ((x | (~x + 1)) >> 31) + 1;
}

howManyBits(x)

题目要求计算出表示 x 的最少补码位数,比如:

  • 0=0b0,只需 1 位即可表示
  • -1=0b1,也只需 1 位来表示
  • 1 = 0b01 \in[-2, 1],需要 2 位来表示
  • -2=0b10\in [-2, 1],需要 2 位来表示
  • 2=0b010\in [-4, 3],需要 3 位来表示
  • 3=0b011\in [-4, 3],需要 3 位来表示
  • -3=0b101\in[-4, 3],需要 3 位来表示

观察上面的二进制数和他们所需的位数,可以发现如果 x 为正数,从左到右扫描,第一个 1 出现的位置 +1 就是所需位数。如果 x 为负数,将其按位取反转换为正数后再进行相同判断即可。

我们可以采用二分法来从左到右寻找第一个 1 出现的位置。首先去高 16 位看看有没有 1 出现,如果有就把 x 右移 16 位后的值赋给 x,再去移位后 x 的低 16 位二分查找。如果高 16 位没有出现 1,就在低 16 位二分查找。

int howManyBits(int x) {
int sign = x >> 31;

// 将 x 转换为正数,这样只要判断最高位 1 出现的位置即可
x = (sign & ~x) | (~sign & x);

// 判断高16位是否存在 1,如果有就右移 x
int b16 = (!!(x >> 16)) << 4;
x = x >> b16;

// 判断高 8 位是否存在 1,如果有就右移 x
int b8 = (!!(x >> 8)) << 3;
x = x >> b8;

// 判断高 4 位是否存在 1,如果有就右移 x
int b4 = (!!(x >> 4)) << 2;
x = x >> b4;

// 判断高 2 位是否存在 1,如果有就右移 x
int b2 = (!!(x >> 2)) << 1;
x = x >> b2;

int b1 = !!(x >> 1);
int b0 = x >> b1;

return b16 + b8 + b4 + b2 + b1 + b0 + 1;
}

浮点数题目

浮点数题目对代码的要求没有整数题目那么严格,可以在代码里面使用超过 0xFF 的整数字面量,可以使用 if、while 关键词,还能使用 ==、>= 等逻辑运算符。

floatScale2(uf)

题目要求将无符号数 uf 表示的单精度浮点数 f 乘以 2,可以分为两种情况:

  • 如果 f 为非规格化数,即 exp 字段为 0,此时 f 小于 1,只需将 uf 算术左移即可
  • 如果 f 为规格化数,即 exp 字段不为 0,乘以 2 只需将 exp+1 即可,但是 +1 之后可能使得 exp 变为 0xFF,即发生了溢出,这时候需要返回 +\infty 或者 -\infty

代码如下所示:

/*
* floatScale2 - Return bit-level equivalent of expression 2*f for
*   floating point argument f.
*   Both the argument and result are passed as unsigned int's, but
*   they are to be interpreted as the bit-level representation of
*   single-precision floating point values.
*   When argument is NaN, return argument
*   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
*   Max ops: 30
*   Rating: 4
*/
unsigned floatScale2(unsigned uf) {
// 取出阶码
unsigned exp = (uf & 0x7f800000) >> 23;
if (exp == 255) {
return uf;
}

// 取出符号位
unsigned sign = uf & 0x80000000;

// 非规格化数,直接左移扩大两倍
if (exp == 0) {
return uf << 1 | sign;
}

// 溢出
if (++exp == 255) {
return sign | 0x7f800000;
}

return exp << 23 | (uf & 0x807fffff);
}

floatFloat2Int(uf)

题目要求将浮点数 f 强转为整数,根据 E=exp-Bias 的值可以分为几种情况:

  • 如果 E 小于 0,说明 f 要么是非规格化数(exp 为 0,这里没有使用 1-Bias 因为只看 E 的符号),要么是一个小于 2 的数乘上了 1/2^n ,两种情况下 f 的绝对值都小于 1,只需返回 0 即可
  • 如果 E 大于 31,说明 |\pm 1.XX\cdots X| 至少变成原来的 2^{32} 倍,由于整数只有 4 个字节,这时候发生了溢出,返回 0x80000000
  • 如果 23\lt E\lt 31,说明 |\pm 1XX\cdots X| (注意这里没有小数点,所以需要大于 23)需要左移(扩大)才能表示浮点数的值 ,左移的过程中可能改变符号为负,说明发生了溢出,需要返回 0x80000000
  • 如果 0\le E\le 23,说明 |\pm 1XX\cdots X| 需要右移(缩小)才能表示浮点数的值

代码如下所示:

/*
* floatFloat2Int - Return bit-level equivalent of expression (int) f
*   for floating point argument f.
*   Argument is passed as unsigned int, but
*   it is to be interpreted as the bit-level representation of a
*   single-precision floating point value.
*   Anything out of range (including NaN and infinity) should return
*   0x80000000u.
*   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
*   Max ops: 30
*   Rating: 4
*/
int floatFloat2Int(unsigned uf) {
// 计算阶码
unsigned exp = (uf & 0x7f800000) >> 23;
int e = exp - 127;

// 0或小数直接返回 0
if (e < 0) {
return 0;
}

// NaN 或者 无穷大
if (e > 31) {
return 0x80000000;
}

// 尾数
int frac = (uf & 0x7fffff) | 0x800000;

// 移动小数点
if (e > 23) {
frac <<= (e - 23);
} else {
frac >>= (23 - e);
}

// 符号位不变
if (!((uf >> 31) ^ (frac >> 31))) {
return frac;
}

// 符号位变化,且当前符号为负,说明溢出
if (frac >> 31) {
return 0x80000000;
}

// 符号变化,返回补码
return ~frac + 1;
}

floatPower2(x)

这题比较简单,要求计算 2^x ,只要将 exp 加上 x 即可。因为 x 变化范围太大,可能导致 exp 小于 0 或者大于 255,这时候就要返回 0 或者无穷大。

/*
* floatPower2 - Return bit-level equivalent of the expression 2.0^x
*   (2.0 raised to the power x) for any 32-bit integer x.
*
*   The unsigned value that is returned should have the identical bit
*   representation as the single-precision floating-point number 2.0^x.
*   If the result is too small to be represented as a denorm, return
*   0. If too large, return +INF.
*
*   Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. Also if, while
*   Max ops: 30
*   Rating: 4
*/
unsigned floatPower2(int x) {
int exp = 127 + x;

// 溢出
if (exp >= 255) {
return 0x7f800000u;
}

// 太小以至于无法用非规格化数来表示
if (exp < 0) {
return 0;
}

return exp << 23;
}

总结

做完习题之后收获还是挺大的,做题的过程也产生了一些想法:

  • 看书还是挺无聊的,配合 B 站的网课食用更香,而且看 CMU 网课的感觉和看国内慕课的感觉完全不一样,看慕课的时候只想着开倍数刷完了事,而看 CMU 网课的时候就觉得大牛慢慢悠悠的节奏很舒服,可以看得很投入
  • int 和 unsigned 的底层二进制数是一样的,只是看待这个二进制数的方式不同,只要记住数轴即可

以上~~

内容来自用户分享和网络整理,不保证内容的准确性,如有侵权内容,可联系管理员处理 点击这里给我发消息
标签: