[贝叶斯六]之朴素贝叶斯分类器设计

同样，类似于[贝叶斯四]之贝叶斯分类器设计，我们用一个例子：字母分类，来阐述朴素贝叶斯分类器的设计。

老套路，搞个三部曲：

特征向量生成

决策函数设计

模型训练

在做问题分析之前，请先做数据集的分析。

一、数据集分析

数据集来自于UCI： UCI字母分类数据集链接

这个数据集原始数据一共包含20000张图像(一般取前16000张图像作为训练，后4000张图像作为测试)，每张图像经过作者处理后得到了一个16维的特征(特征值是一个0-15的整数)，标签就是所代表的字母A-Z。数据形式如下：

1.   lettr   capital letter  (26 values from A to Z)
2.   x-box   horizontal position of box  (integer)
3.   y-box   vertical position of box    (integer)
4.   width   width of box            (integer)
5.   high    height of box           (integer)
6.   onpix   total # on pixels       (integer)
7.   x-bar   mean x of on pixels in box  (integer)
8.   y-bar   mean y of on pixels in box  (integer)
9.   x2bar   mean x variance         (integer)
10.  y2bar   mean y variance         (integer)
11.  xybar   mean x y correlation        (integer)
12.  x2ybr   mean of x * x * y       (integer)
13.  xy2br   mean of x * y * y       (integer)
14.  x-ege   mean edge count left to right   (integer)
15.  xegvy   correlation of x-ege with y (integer)
16.  y-ege   mean edge count bottom to top   (integer)
17.  yegvx   correlation of y-ege with x (integer)

其中20000张图像的分布如下：

1.  789 A      766 B     736 C     805 D     768 E     775 F     773 G
2.  734 H      755 I     747 J     739 K     761 L     792 M     783 N
3.  753 O      803 P     783 Q     758 R     748 S     796 T     813 U
4.  764 V      752 W     787 X     786 Y     734 Z

整理一下这个数据集。

一个文件。共20000条数据，我们将前16000条数据作为训练数据，后4000条数据作为测试数据。

数据格式。16维的特征向量，一个A-Z的label

二、特征向量生成

由上述的数据集的描述中我们可以知道，字母数据集已经帮我们做好了特征向量提取（16维数据）的工作。数据形式如下所示。



由此我们只需要经过简单的处理就能得到我们想要的数据。

Image数据。上图所示每行16维向量，每个特征值取值为0-15的整数。形式为16*N。

Label。上图中每行第1列，A-Z。

Step1：数据读入(loadData.m)

% load data from file, start --start line, end --end line
function [labels, features] = loadData(filename,start,endl)

[data1,data2,data3,data4,data5,data6,data7,data8,data9,data10,data11,data12,data13,data14,data15,data16,data17] = textread(filename, '%c%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d%d','delimiter',',');

labels  = data1(start:endl,1);
features = [data2,data3,data4,data5,data6,data7,data8,data9,data10,data11,data12,data13,data14,data15,data16,data17];
features = features(start:endl,:);

%labels = labels.';
features = features.' + 1;
% 注意：这里的下标是0~15

end

三、决策函数分析

这里我们也使用最小错分准则来设计贝叶斯分类器。所以，我们的目的是求解后验概率 p(wi|x) p(wi|x).

3.1 决策函数

由[贝叶斯五]之朴素贝叶斯分析可以知道。

p(wi|x)=p(x|wi)p(wi)p(x)=p(wi)p(x)∏k=1dp(xk|wi)(1)(2)(1)p(wi|x)=p(x|wi)p(wi)p(x)(2)=p(wi)p(x)∏k=1dp(xk|wi)

朴素贝叶斯的目标函数如下所示。

f=argmaxi p(wi|x)=argmaxi p(wi)∏k=1dp(xk|wi)(3)(4)(3)f=argmaxi p(wi|x)(4)=argmaxi p(wi)∏k=1dp(xk|wi)

对于字母数据集的训练数据集来说：

类别ww共有26类

样本xx是16维，每个元素的取值是0~15整数

3.2 模型建立

根据训练数据和决策函数，我们需要计算模型的参数(也可以称为训练过程)。决策函数如下。

gi(x)=p(wi)∏k=1dp(xk|wi)(5)(5)gi(x)=p(wi)∏k=1dp(xk|wi)

其中：

p(wi)p(wi)是先验概率，表示每类样本出现的概率。

p(wi)=#类别i的训练样本数量#训练样本总数n(6)(6)p(wi)=#类别i的训练样本数量#训练样本总数n

p(xk|wi)p(xk|wi)是用来统计类别ii的条件下，xkxk在各种取值下的可能性(概率)。

p(xk=j|wi)=#类别i的所有训练样本中第k个元素为j的样本数#类别为i的训练样本总数(7)(7)p(xk=j|wi)=#类别i的所有训练样本中第k个元素为j的样本数#类别为i的训练样本总数

在模型建立的时候，我们只需要计算上面两个参数即可。

Step2: 训练模型(bc_train.m)

function [model] = bc_train(x, y, J)

[K,N] = size(x);     %K为维度，N为样本数

% p(w): 类别 i 出现的概率
py = zeros(J,1);
for i=1:J
py(i,:) = sum(y == i)/N;
end

% p(x_k_i): 样本中第k个元素为i的个数 / 样本总数
pki = zeros(16,16);
for k=1:16
for i=1:16
pki(k,i) = sum(x(k,:) == i)/N;
end
end

% p(x_k_i | j): 第j类样本中第k个元素为i的样本数 / 第j类样本总数
pkij = zeros(16,16,J);
for j=1:J
for k=1:16
xj = x(:,y==j);  %属于第j类的样本
for i=1:16
pkij(k,i,j) = sum(xj(k,:)==i)/size(xj,2);
end
end
end

model.pki = pki;
model.py = py;
model.pkij = pkij;

end

3.3 模型测试

决策函数有了，模型有了，那么我们如何来测试一个数据呢？简而言之就是输入样本xx，如何得到xx所属的类别？

针对输入样本xx，每个样本的p(wi)p(wi)肯定是相同的。根据式子。

gi(x)=p(wi)∏k=1dp(xk|wi)(8)(8)gi(x)=p(wi)∏k=1dp(xk|wi)

我们只需要得到p(xk|wi)p(xk|wi)即可，因为有输入样本xx，所以其实我们是知道xkxk的值的，然后加上模型中已经计算出了p(xk=j|wi)p(xk=j|wi)，由此我们将xkxk带入，得到了p(xk|wi)p(xk|wi)。然后统计出所有类别的最大值 maxi gi(x) maxi gi(x)，这个类别就是预测得到的类别。

Step3: 测试数据(bc_predict.m)

function [yp] = bc_predict(model,x,J)

[K,N] = size(x);

pki = model.pki;
py = model.py;
pkij = model.pkij;

% p(y_j|i): 样本第i个元素为 x(:,i) 情况下，类别为j的概率
pyji = zeros(J,16,N);
for j=1:J
for i = 1:16
for n=1:N
pyji(j,i,n) = pkij(i,x(i,n),j) * py(j) / pki(i,x(i,n));
end
end
end

result = prod(pyji,2);
yp = zeros(N,1);
for i=1:N
[m,yp(i,:)] = max(result(:,:,i));
end

Step4: 主程序(runChar.m)

clear
clc
%% Step1: read data

[train_labels,train_char] = loadData('./char/letter-recognition.data.txt',1,16000);
[test_labels,test_char] = loadData('./char/letter-recognition.data.txt',16001,20000);

%% Step2: train model

train_labels = train_labels - 'A' + 1;
model = bc_train(train_char, train_labels, 26);

%% Step3: predict

test_labels = test_labels - 'A' + 1;
yp = bc_predict(model,test_char,26);
accuary_test = sum(yp == test_labels) / length(test_labels);

最终得到的测试精度是： 72.9%

读者可以在特征向量生成的时候做点文章以此来提高精度，具体的可以查看我们写的特征生成部分，比如PCA等等。

四、参考文献

[1] UCI Machine Learning Repository: Letter Recognition Data Set. 下载链接

[2] Using the MNIST Dataset. 下载链接

[3] 周志华. 《机器学习》[M]. 清华大学出版社, 2016.

[4] 李航. 《统计学习方法》[M].清华大学出版社,2013.

[5] 机器学习之贝叶斯分类器

[6] 机器学习通俗入门-朴素贝叶斯分类器

PS： 如需数据和代码请上faiculty留言

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