零基础入门深度学习三：梯度下降优化

tuning 美 ['tjunɪŋ] : 调整

learning rate 美[ˈlɚnɪŋ ret] : 学习速率

stochastic 美 [stə'kæstɪk]：随机的

batch 美 [bætʃ] : 一批

dimension 美 [dɪˈmɛnʃən, daɪ-] : 维度

mean 美 [min] : 平均数

standard deviation美 [ˈstændəd ˌdiviˈeʃən] : 标准差

variance 美 [ˈveriəns] : 方差

本文是对李宏毅教授课程的笔记加上自己的理解重新组织，如有错误，感谢指出。视频及 PPT 原教程：https://pan.baidu.com/s/1bSs66a 密码：g8e4上篇详细介绍了梯度下降，这篇讲一下对梯度下降的一些优化。

Tuning your learning rate

Adagrad

下边是梯度下降的公式。



这里的 

 是一直固定不变的，
而直观上，我们开始离目标点远，

 值应该大一些，随着迭代的进行，我们离目标点越来越近，

 值应该变小。所以我们得到了第一次优化的版本：





t 代表迭代的次数。

还存在一些问题，就是这里的  代表一组参数，也就意味着我们对不同的参数使用了同一个  。而每个参数对
Loss 值影响不一定相同，所以我们如何让不同的参数拥有不同的  呢？

因为每个参数的偏导值肯定是不一样的，我们不妨在上边优化的基础上再除以关于他们偏导值的东西，除以之前迭代的所有导数的平方的平均数再开根号。下边的 w 代表一个参数，其他参数同理，t 同样代表迭代次数。





我们把它和上边的优化综合在一起



这样我们就得到了 Adagrad 的公式，即 

 除以之前迭代的所有导数的平方的平均数再开根号，而迭代次数已经被我们约掉了。

Adagrad 原理

我们简单的理解一下它的原理。



我们假设 Loss Function 是 y ，对称轴是 - b / 2a ，初值选取了 

，而此时
Best step 如图所示，也就是 

 减去它就到了最小值，让我们和
Adagrad 对比一下。



是的， Adagrad 的想法就是除以一个可以近似代表二次导数的东西，当然我们也可以直接除以二次导数，但那样对于复杂的函数会增加很多计算量。

除了 Adagrad ，还有很多方法都是针对 

 进行优化。

Stochastic Gradient Descent （随机梯度下降）

我们举一个简单的例子，就是前边文章的预测神奇宝贝进化后的 cp 值，假如 Loss Function 是下边的 

 我们总共有 10 组已知的数据， 代表第 n 只神奇宝贝进化前的 cp 值， 代表第
n 只神奇宝贝进化后的 cp 值。我们计算 Loss 的时候把所有的数据全部用到了。

我们如果计算 Loss 的时候不用全部的数据会怎么样呢？也就是我们每次只随机或者顺序选一只神奇宝贝，即 Loss Function 如下： 

 

这样我们根据其中一个数据直接算 Loss Function 的偏导，利用梯度下降进行更新参数就叫做 Stochastic Gradient Descent 。这样做的好处是可以更快的收敛，它的效果图可能如下：



10 组数据左边的图只更新了一次，而右边的图就更新了 10 次。

同理如果我们每次同样不选全部数据，而是选择部分数据，例如每次全部数据的十分之一，这样再进行梯度下降，就又是一个新的优化方法，叫做 mini-batch gradient decent ， 小批的梯度下降。batch_size 就代表每次选择多少数据。这种方法用的最多。

而我们一开始使用全部数据的更新方式叫什么呢？Batch gradient descent ，批梯度下降。这种方法每更新一次参数都要把数据集里的所有样本都看一遍，计算量开销大，计算速度慢，不常用。

Feature Scaling

简单的讲，就是把所有参数的取值范围统一到一个范围，如下图。



为什么这样做呢？我们把上边的 y 函数用另一种图示表示。




 的取值是
1，2...... ，

 的取值是
100，200 ......

 y 代表 Loss Function ,我们往 

 的方向看，等高线比较窄，说明 

 的变化对
L 的影响大。而看横轴 

 的方向比较稀疏，说明 

 对
L 的影响小。这显然是不合理的，每个参数对 L 的影响应该同等才可以，我们应该达到下边的效果：



这样做的好处很明显，每次参数的更新会直接朝向目标值，而不会向之前每次更新的方向都不同。

那么具体怎么操作呢？



把样本每一维度的参数减去平均值 

 除以标准差


 即可。

 最后会使得每一维度参数的取值的平均值为 0 ，方差为 1 。