【NPC问题】证明EXACT 4SAT问题是NPC问题

【问题描述】

8.8 在EXACT 4SAT问题中，输入为一组字句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在子句中出现一次。目标是求他的满足赋值，如果该赋值存在，证明精确的4SAT问题是NP完全问题。

【证明】

如果想要证明 EXACT 4SAT问题是NPC问题，只需把目前已知的NPC问题归约到EXACT 4SAT问题。3SAT问题是和4SAT问题形式最接近的已知NPC问题。因此，我们证明3SAT问题可以归约到EXACT
4SAT问题。

3SAT问题的基本形式如下： 


 
我们只需添加哑变量，便能讲3SAT问题扩展成一个EXACT 4SAT 问题，如下图  


 
加入哑元变量使得3SAT的公式变成EXACT 4SAT的方法显然是多项式时间的。 同时，哑变量不影响整个语句的结果，因此两个式子是等价的。 

综上，3SAT能归约到EXACT 4SAT问题，所以EXACT 4SAT问题是NPC问题。