数论基础（欧几里得，扩展欧几里得，逆元，斯特林）

看了点牛客网直播，整理一下。

一。欧几里得

gcd(a,b)= gcd(b,a mod b)；
这个就这样吧，都知道。
证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　 1.假设d是a,b的一个公约数，则有a|d, b|d，而r = a - kb，因此r|d

　　    因此d是(b,a mod b)的公约数,证明充分性

2.假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　          b|d , r|d ，但是a = kb +r

　　   因此d也是(a,b)的公约数,证明必要性

              因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。

二。扩展欧几里得算法

这个是为了解方程：已知a， b，求x， y使a*x + b*y = gcd（a， b）。

代码实现

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
　　if(b == 0){
　　x = 1;
　　y = 0;
　　 return a;
　　}
　　int r = exgcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　 return r;
　　}

解 x，y的方法的理解：

  1、显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

  也就是1*a+0*b= a

  2、设ax1+by1=gcd(a,b);

　　        在下一个exgcd里bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a
mod b);

　　        根据欧几里德原理有gcd(a,b)=gcd(b,a
mod b);

　　        则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　        即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　       根据恒等定理得：x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2;

        这样我们就得到解 x1,y1 的方法：x1，y1
的值基于 x2，y2。

例题POJ1061。

三。逆元

定义，a * x ≡ 1（mod m），则把x的最小正整数解叫做a 模 m的逆元。

三种方法求逆元：

  1、费马小定理求逆元。

  2、拓展gcd求逆元。

  3、欧拉定理。

1.费马小定理

    a^(m-1) ≡  1(mod m)  
(m为素数)

  推到过程：

  a * a ^(m-2) ≡ 1(mod m)

  故  a^(m-2)
为a在模m下的逆元,(用快速幂求即可)。

  但有限制条件：

  m必须为质数，且a，m互质。

(别问我为什么，问费马)

2。拓展欧几里得求逆元：

a*x+b*y=Gcd(a,b)

  将a，m代入

  a*x+m*y =
gcd(a,m)

  令a，m互质，则gcd(a,m)
= 1

  a*x+m*y = 1

两边模m，得 a*x ≡ 1（mod m）；

x为逆元。

3.欧拉定理





故  

        
是a的逆元

    

   
是小于m且与m互质的数的个数
这样用快速幂和欧拉筛就能求了。

逆元应用

由于                  ，

  故     x = 1/a(mod m)

  故     (b/a)mod m

  ===>(b*x)mod m

  ===>(b%m *
x%m)%m

例题hdu1576

三。斯特林公式

斯特林公式可以用来估算某数的大小，结合lg可以估算某数的位数，或者可以估算某数的阶乘是另一个数的倍数。

可以两边取对数，得:

  log10(n!) =log10(2*n*Pi)/2+n*log10(n/e)

则阶乘的位数为log10(2*n*Pi)/2+n*log10(n/e)+ 1。

感谢牛客网的学长。