使用Matlab求解定积分/不定积分

一、符号积分

求符号积分函数：int

格式：int(f,x,a,b)

功能：计算定积分


格式：int(f,x)

功能：计算不定积分


使用int函数之前，先用syms声明x是符号变量

例：







代码：

syms x
y1=1/(1+x^4);
y2=(x*exp(x))/(1+x)^2;
y3=1/(x^2+2*x+3);
fy1=int(y1)
fy2=int(y2,0,1)
fy3=int(y3,-inf,+inf)

二、数值积分

在科学研究和工程技术中，经常遇到积分的计算，虽然有些函数的不定积分可以求出其初等函数表示式，但有更多的函数，它们的不定积分不是初等函数，这样就无法利用牛顿莱布尼兹公式求出其定积分，甚至经常遇到只知道函数在一些离散点的值，但函数表达式未知的情况，在上述情况下就必须以数值方法求定积分的近似值。用数值方法求定积分的近似值，通常称为数值积分。

(1) 用梯形法计算积分；

适用于被积函数为离散数据时，求函数的定积分。该函数调用格式：I=trapz(x,y)

例：

clc,clear
format long
ac=@(x)sin(x)./x
x1=pi/4:pi/50:pi/2;
y1=ac(x1);
s1=trapz(x1,y1)
x2=pi/4:pi/100:pi/2;
y2=ac(x2);
s2=trapz(x2,y2)

(2) 基于变步长辛普森法计算积分

该函数调用格式：[I,n]=quad(‘fname’,a,b,Tol,trace)

其中：‘fname是被积函数名

a,b是积分上下限

Tol是精度控制值，省却时取0.001

Trace:控制是否显示展现积分过程，取0不展现

I：积分值

n：被积函数调用次数

例：

ac=@(x)sin(x)./x
s=quad(ac,pi/4,pi/2)

(3) 高精度Lobatto积分法，

格式：z = quadl(Fun,a,b)

(4) 自适应Gauss-Kronrod数值积分

z = quadgk(Fun,a,b)

(5) 积分法矢量化自适应simpson数值积分

格式：z = quadv(Fun,a,b)

一次可以计算多个积分

例

F=@(x,n)1./((1:n)+x.^2);
quadv(@(x)F(x,6),0,1)

三、数值二重积分

I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)，求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重积分。

例：

计算二重积分：


其中

f=@(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)
I=dblquad(f,-2,2,-1,1)