matlab环境下连续信号采样处理的仿真分析设计

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设计介绍

      一般连续信号转变为可传输的离散数字信号需要三个环节：采样、量化、编码。其中采样是第一个环节，也是最基础的一步。它的实质是按照一定的时间间隔提取连续信号的幅值，这个时间间隔必须要足够小以便在信号接收端可以无失真或者以最小失真恢复原来的连续信号，因此它对连续信号有两个要求，即需要满足奈奎斯特采样定理的条件：（1）连续信号带宽有限；（2）对连续信号的采样频率至少要达到连续信号最高截至频率的两倍。带宽有限的连续信号并不难得到，只需要加一个带通滤波器即可，因此技术的关键在于对于连续信号的采样。由奈奎斯特采样定理可以知道采样频率只要不小于连续信号最高截至频率的两倍，就可以用离散的信号完全表示原本的连续信号，但在实际应用中还必须要考虑噪声以及带宽的问题，因此在实际中采样频率要取大于最高截至频率两倍的适当值，例如人的话音频率范围在300—3400Hz，而采样频率则设定为8000Hz。而理论条件下，我们只要取采样频率Fs=2fH即可。

详细设计

1、连续信号与离散信号介绍：    

       连续信号如图（1）所示，它描述函数的定义域是横轴上的连续区间；离散信号如图（2）所示，它描述函数的定义域是横轴上的某些离散点的集合，函数只是在某些离散点上才有意义，这些离散点在横轴上可以均匀分布，也可以不均匀分布。


                   


                  图（1）                                                                          图（2）

2.连续信号采样原理以及方法:  

      如图（3），设一频带有限，频率为fm的连续信号y(t)，其频谱函数只在某一有限区间内为有限值，在此区间之外的函数的幅值为0。那么只有当抽样间隔Ts不大于1/(2fm)时，信号y(t)可以唯一地被等间隔的抽样值y(nTs)所确定。这就是时域采样定理，也称奈奎斯特定理。Ts被称为奈奎斯特间隔，fs称为奈奎斯特频率。当fs<2fm时，这种采样称为欠采样，当fs>2fm时，称为过采样，欠采样会导致恢复出失真的信号，而过采样则会导致运算量和带宽的增加，所以在采样时要选择合适的采样频率。通过采样，我们可以将连续的信号变换为离散的信号，而在实际应用中，连续信号并不是严格的有限带宽信号，但是由于其频率在|f|>fm的区域内所具有的能量占总能量比重很小，所以一般定义f=fm为有限带宽的最高截止频率。图（4）中的圆圈即为连续信号在不同时间点处的采样值，根据奈奎斯特采样定理，只要采样频率不小于图（3）所示信号频率的两倍，就可以用这些离散的采样值来完全代替原来的连续信号。


                             


                         图（3）                                                                                图（4）

3、离散信号的频谱：

      离散信号的频谱即离散时域信号对应的频域信号，对离散的时域信号求离散傅立叶变换就可以得到其频谱，其往往是周期性的。设x(n)是长度为N的有限长序列，则它的离散傅立叶变换可以表示为：X(k)=∑n={0,N-1}x(n)*e^-j*2*pi*n*k/N，由此公式可以看出，X(k)是离散的。

4、程序实现及结果分析：

（1）程序

>>%matlab环境下连续信号采样处理的仿真分析设计
clear
dt=0.01;t=0:dt:3;
f=1;
h=sqrt(2);
y=h*sin(2*pi*f*t+0.25*pi);
figure;
subplot(1,1,1);
plot(t,y);
ylim([-h,h]);
xlabel('t');
ylabel('y');
title('原始信号');
fs=input('请输入抽样频率：\n');
dt=1/fs;t1=0:dt:3;
y1=h*sin(2*pi*f*t1+0.25*pi);
figure;
subplot(1,1,1);
plot(t,y,t1,y1,'o');
ylim([-h,h]);
xlabel('t');
xlabel('t');
ylabel('y1');
title('抽样过程');
figure;
subplot(1,1,1);
plot(t1,y1);
ylim([-h,h]);
title('抽样信号恢复出的信号');
xlabel('t1');
ylabel('y1');
N=150;
n=[0:1/fs:3];
g=h*sin(2*pi*f*n+0.25*pi);
w=[-N:1:N]*4*pi/N;
X=g*exp(-j*(n'*w));
figure;
subplot(1,1,1);
stem(n,g);
ylim([-h,h]);
xlabel('n');
ylabel('g');
title('抽样信号离散值');
figure;
subplot(1,1,1);
stem(w/pi,abs(X));
xlabel('w/pi');
ylabel('X');
title('频域信号')； 
（2）结果分析：

      a、图（5）为流程中的第一个结果，y=√2*sin(x+0.25*pi)，即为y=sinx+cosx的连续信号。此连续信号以Ts=0.01s的时间间隔绘出，故而其采样频率不可低于200Hz。在设计时，取不小于2个的有限个周期的连续信号，以便可以对连续信号的整体进行比较分析；
                           

 
                                                                                   图（5）
      b、图（5）出现后，程序会提示输入采样频率，在采样频率为220Hz时，以’’标记采样值，图（6）表示的就是采样过程；

                             


                                                                                   图（6）

      c、由于抽样频率大于原始信号频率的两倍，满足奈奎斯特抽样定理的条件，故而可以用图（6）的采样点恢复出原始信号，图（7）为恢复以后的信号，可以看出，图（7）所示的恢复出的信号与图（5）所示的原始信号完全相同，这就证实了所编写至此的程序是完全能正确的；
                                     


                                                                                        图（7）

       d、图（8）为当采样频率为220Hz时的对连续信号的采样值，由于是以‘；’的圆心标注采样值，所以在边界处会有不大于其半径的溢出，此图表明编写至此的程序正确；
                                     


                                                                                        图（8）

       e、图（9）为采样值的离散傅里叶变换，即离散信号的频谱；
                                     


                                                                                           图（9）

调试分析

1、对采样频率的调试：
       图（10）和图（11）分别对应采样频率为10Hz和200Hz下的离散信号对原始信号的恢复，由两幅波形图可证实，当采样频率为低于200Hz的10Hz时，恢复出的信号产生了失真，而当采样频率为采样定理所要求的最低频率200Hz，即满足频率条件时，离散的采样值完全恢复了原信号；


                                 


                               图（10）                                                                  
                           图（11）

2、对采样后所得的离散信号值的提取：
       图（12）和图（13）分别对应采样频率为10Hz和200Hz下的离散信号,可以看出当采样频率为10Hz时，采样值太过“稀疏”，很难恢复出原始信号，而当采样频率为采样定理所要求的最低频率200Hz，即满足频率条件时，离散的采样值很“密集”，直接从图上就可以看出原信号的大致轮廓，相对而言恢复原信号也就相对更加容易，更加精准一些；


                           


                               图（12）            
                                                                                 图（13）

3、 对离散值的频谱分析：
       图（14）和图（15）分别对应N=220和N=20时下的离散傅立叶变换，即频谱，从频域看，频谱是对连续信号的频谱进行周期性搬移。


                                  


                               图（14）                                                                                              图（15）

参考文献

1、Sanjit K.Mitra. 数字信号处理——基于计算机的方法（第三版），清华大学出版社；

2、程佩青. 数字信号处理教程（第四版），清华大学出版社；

3、吴大正. 信号与线性系统分析（第四版），高等教育出版社；

4、樊昌信. 曹丽娜. 通信原理（第六版），国防教育出版社；

5、万永革.数字信号处理的MATLAB实现（第二版），科学出版社。

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