【笔记篇】斜率优化dp（二） SDOI2016征途

=======传=送=门=======

搜题目名会搜出很多奇怪的东西... 这个题目似乎有点毒?

比如在bzoj和loj上可以1A的代码上会在luogu TLE 2个点, 在cogs TLE 10个点 但是根据已有的资料来看数据都是一样的…

毒瘤评测姬毁我OI!!!

这个题的状态转移方程并不是很好推的说. 出题人让∗m2肯定是有目的的啊..

(比如不让乘m2我们可能会需要考虑乘m2最后再除掉之类的)

然后就化一波式子: 我们令sum表示n段路的总和.

m2s2=m2∑mi=1(xi−x¯)2m=m∑i=1m(xi−x¯)2=m∑i=1mx2i−m∑i=1m2xix¯+m∑i=1mx¯2=m∑i=1mx2i−(2∑i=1mxi)∗(m∗x¯)+m2(summ)2=m∑i=1mx2i−2sum2+sum2=m∑i=1mx2i−sum2

而m和sum2都是常数我们可以不管, 那就是要求最小化∑mi=1x2i.

所以令f[i][j]表示前i天走了前j段路, si表示前i段路的前缀和, 那就能写出状态转移方程:

f[i][j]=min{f[i−1][k]+(sj−sk)2}(k∈[1,j))

那很明显这个是O(n3)可以做的, 这样能拿到60pts了就.

但是想A的话 很明显要采用一种o(n2)的算法. 当然你要能O(n)甚至O(1)过也没啥问题…

那我们就要搬出斜率优化了. 我们继续化式子.

首先很明显第一维跟后面这一堆没啥关系, 那就不优化了, 也可以把这一维去掉, 到时候一滚动数组(其实不滚也能过)就行了.

那状态转移方程就可以改写成:

f[j]=min{f′[k]+(sj−sk)2}

然后继续化成y=kx+b的形式, f[j]=f′[k]+s2j−2sjsk+s2k

移项得f′[k]+s2k=2sjsk+f[j]−s2j

这样的话我们就可以正常的斜率优化了. 最后输出m∗f[n][m]−sum2就好啦~

不过要修一下边界条件.

- 比如第i天完全可以从i开始找, 总不可能回去找前面的路(这样也不会出现被0除错误),

- 然后f[1][x]显然应该等于s[x]2, 这样就可以了.

- 然后又是要开long long的题整天开long long还是挺烦的, 什么时候普及64位系统啊= =

然后就是代码: 并不知道究竟能不能AC 请谨慎复制!

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=3030;typedef long long LL;
LL s
,q
,n,m,h,t;LL f
,g
;
inline LL gn(LL a=0,char c=0){
for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a;
}
inline double slope(LL x,LL y){return 1.0*(g[x]+s[x]*s[x]-g[y]-s[y]*s[y])/(s[x]-s[y]);}
int main(){ n=gn(); m=gn();
for(LL i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+gn(),g[i]=s[i]*s[i];
for(LL i=2;i<=m;++i){h=0; t=0; q[h]=i-1;
for(LL j=i;j<=n;++j){
while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<2*s[j]) ++h;
f[j]=g[q[h]]+(s[j]-s[q[h]])*(s[j]-s[q[h]]);
while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(j,q[t])) --t;
q[++t]=j;
}::memcpy(g,f,sizeof(g));
}printf("%lld",f
*m-s
*s
);
}

被莫名的非主观因素的TLE卡掉好多下午的学(tui)习(fei)时间, 心情并不怎么好…

不过下雪了出去玩了一圈就非常爽了~ (⊙v⊙)嗯

所以编辑多行laTex公式的时候会出现一个写着数字的括号是什么鬼啊.. 难道是幽灵倒计时之类的东西???