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容斥原理+欧拉函数

2018-01-24 13:02 211 查看

HDU :

2588:欧拉函数于gcd

1286:

4135:

2841:

2824:

1796:

1695:

3501:欧拉函数扩展

POJ :

1142:

2407:

3090:

总结：

容斥原理：求n在（1，m）中有几个互质的数。

[b]基本步骤：[/b]

[b]1.求n的质因子[/b]

[b]2.求质因子的组合（奇正，偶负）//队列法，位运算法[/b]

[b]3.求和得（1，m）中于质因子有关的数的数量[/b]

[b]4.m - f(m);[/b]

队列法：

int k;//质因子数量

int e[1000];//存放质因子

int p[10000];//存放欧拉函数

void ff(int n)//求质因子

{

k = 0;

for(int i = 2;i * i <= n;i++)

{

if(n % i == 0)

{

e[k++] = i;

while(n % i == 0){n /= i;}

}

}

if(n > 1) e[k++] = n;

}

int f(int m)

{

int top = 1;

p[0] = -1;

for(int i = 0;i < k;i++)//求组合

{

int t = top;

for(int j = 0;j < top;j++)

{

p[top++] = p[j] * (-1) * e[i];

}

}

int sum = 0;

for(int i = 1;i < top;i++)//求和

{

sum += m / p[i];

}

return sum;

}

位运算法：复杂度=1<<k (k=n的质因子数)

int k;//质因子数量

int e[1000];//存放质因子

void ff(int n)//求质因子

{

k = 0;

for(int i = 2;i * i <= n;i++)

{

if(n % i == 0)

{

e[k++] = i;

while(n % i == 0){n /= i;}

}

}

if(n > 1) e[k++] = n;

}

int f(int m)

{

int res;

int sum = 0;

int use;//记录使用因子的个数

for(int i = 1; i < 1<<k; i++)

{

res = 1; use = 0;

for(j = 0; j < k; j++)

{

if(i & (1<<j))

{

use++;

res *= e[j];

}

}

if(use & 1) sum += m / res;//奇加偶减

else sum -= m / res;

}

return sum;

}

欧拉函数：求n在（1，n）中有几个互质的数。

欧拉函数扩展：小于或者等于n的数中(n > 1)，与n互

质的数总和
= euler
* n / 2。

重要应用于gcd结合!!

基本公式：a
=n * (1 - 1 / pi) * (1 - 1 / pj)...(pi,j为n的质因子)。

代码1：求单个n的欧拉值。//适用于n大，n少。

int f(int n)

{

int sum = n;

for(int i = 2;i * i <= n;i++)

{

if(n % i == 0)

{

sum = sum * (i - 1) / i;

n /= i;

while(n % i == 0){n /= i;}

}

}

if(n > 1) sum = sum * (n - 1) / n;

return sum;

}

代码2：求（1，n）中所有的欧拉值a[i]。//[b]适用于n小，n多。[/b]

[b]void f(int n)

{

memset(p,0,sizeof(p));

p[1] = 1;

for(int i = 2;i <= n;i++)

{

if(!p[i])

{

for(int j = i;j <= n;j += i)

{

if(!p[j]) p[j] = j;

p[j] = p[j] * (i - 1) / i;

}

}

}

}
[/b]

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