白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论+实践篇

白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论+实践篇

@(2018年例会)

白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论实践篇
概述

转换函数
单位阶跃函数

sigmoid function

几率与对数几率

损失函数

代码实战

参考

概述

前面讲述了线性回归，线性回归的模型 y=wT+b。模型的预测值逼近真实标记y。那么可否令模型的预测值逼近真实标记y的衍生物呢。比如说模型的预测值逼近真实标记的对数函数。下面引入逻辑回归的知识。

转换函数

我们需要一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来，所以需要一个转换函数将线性模型的值与实际的预测值关联起来。

考虑二分类问题，其输出标记是y属于{0，1}，而线性模型产生的预测值是z=wT+b是实值，那么我们需要将这个实值转化成0/1值，最理想的函数是单位阶跃函数。

单位阶跃函数

单位阶跃函数（unit-step function），如下图，如果预测值大于零则判断为正例；如果预测值小于零则判断为反例；为零的则任意判断。如下图所示。



y=⎧⎩⎨00.51if z < 0if z = 0if z > 0

sigmoid function

从图中可以看出，单位阶跃函数不连续因此不适合用来计算。这里我们引入sigmoid函数，进行计算。

y=11+e−z

将z值转化为一个接近0或1的y值，并且其输出值在z=0的附近变化很陡。那么我们现在的模型变化成

y=11+e−(wT+b)

几率与对数几率

几率：如果将y作为正例的可能性，1-y作为负例的可能性，那么两者的比值y1−y称为几率，反应了x作为正例的相对可能性。则根据sigmoid函数可得。

lny1−y=wT+b

lny1−y称为对数几率；

由此可以看出，y=11+e−(wT+b)实际上是用线性模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为“对数几率回归”

下面介绍损失函数以及计算方法。

损失函数

因为：lny1−y=wT+b。所以

p(y=1|x)=e(wT+b)1+e(wT+b)

p(y=0|x)=11+e(wT+b)

我们采用极大似然估计法进行求解，由于是二分类问题，所以符合概率里面的0-1分布，所以似然函数为

令p(y=1|x)=e(wT+b)1+e(wT+b)=f(x)，p(y=0|x)=11+e(wT+b)=1−f(x)

L(w)=∏i=1n[f(xi)]yi[1−f(xi)]1−yi

对数似然函数为：

l(w)=lnL(w)=∑i=1n[yilnf(xi)+(1−yi)ln(1−f(xi))]

l(w)=lnL(w)=∑i=1n[yilnf(xi)1−f(xi)+ln(1−f(xi))]

l(w)=lnL(w)=∑i=1n[yi(wxi)−ln(1+ewxi)]

求这个函数的最大值，加个负号，求最小值。运用前面章节介绍的梯度下降和牛顿法都可以求解，这里不再赘述。

代码实战

这里讲述通过梯度上升法进行求解，首先，我们需要界定、分析下这个问题，那么我们需要什么样的信息呢？

输入信息的变量

样本：包括特征与分类标记、正例与负例

回归系数的初始化；

步长的计算；

损失函数的已经确定；

损失函数的梯度的计算；

通过损失函数的梯度和步长确实每次迭代；

迭代的停止条件；

输入数据（确定上面的变量）

样本信息：包括特征、分类标记（从机器学习实战中提取，后续将贴出；

回归函数的系数都初始化为1.0；

为简单起见，设置步长alpha = 0.001；

损失函数，上面已经介绍：

l(w)=lnL(w)=∑i=1n[yi(wxi)−ln(1+ewxi)]

损失函数的梯度：

[∂f2∂xi∂yj]nxn

l(w)=lnL(w)=∑i=1n[yi(wxi)−ln(1+ewxi)]

[∂(lnL(w))∂w]=∑i=1n[yixi−e(wxi)1+e(wxi)xi]=∑i=1n[xi(yi−e(wxi)1+e(wxi))]

[∂(lnL(w))∂w]=∑i=1n[xi(yi−11+e(−wxi))]

迭代的停止条件：maxCycles = 500，迭代500次。

代码

def loadDataSet():
dataMat = []; labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
m,n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.001
maxCycles = 500
weights = ones((n,1))
for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
error = (labelMat - h)              #vector subtraction
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error # 这里就是用梯度迭代修改参数的值
return weights

样本数据

-0.017612   14.053064   0
-1.395634   4.662541    1
-0.752157   6.538620    0
-1.322371   7.152853    0
0.423363    11.054677   0
0.406704    7.067335    1
0.667394    12.741452   0
-2.460150   6.866805    1
0.569411    9.548755    0
-0.026632   10.427743   0
0.850433    6.920334    1
1.347183    13.175500   0
1.176813    3.167020    1
-1.781871   9.097953    0
-0.566606   5.749003    1
0.931635    1.589505    1
-0.024205   6.151823    1
-0.036453   2.690988    1
-0.196949   0.444165    1
1.014459    5.754399    1
1.985298    3.230619    1
-1.693453   -0.557540   1
-0.576525   11.778922   0
-0.346811   -1.678730   1
-2.124484   2.672471    1
1.217916    9.597015    0
-0.733928   9.098687    0
-3.642001   -1.618087   1
0.315985    3.523953    1
1.416614    9.619232    0
-0.386323   3.989286    1
0.556921    8.294984    1
1.224863    11.587360   0
-1.347803   -2.406051   1
1.196604    4.951851    1
0.275221    9.543647    0
0.470575    9.332488    0
-1.889567   9.542662    0
-1.527893   12.150579   0
-1.185247   11.309318   0
-0.445678   3.297303    1
1.042222    6.105155    1
-0.618787   10.320986   0
1.152083    0.548467    1
0.828534    2.676045    1
-1.237728   10.549033   0
-0.683565   -2.166125   1
0.229456    5.921938    1
-0.959885   11.555336   0
0.492911    10.993324   0
0.184992    8.721488    0
-0.355715   10.325976   0
-0.397822   8.058397    0
0.824839    13.730343   0
1.507278    5.027866    1
0.099671    6.835839    1
-0.344008   10.717485   0
1.785928    7.718645    1
-0.918801   11.560217   0
-0.364009   4.747300    1
-0.841722   4.119083    1
0.490426    1.960539    1
-0.007194   9.075792    0
0.356107    12.447863   0
0.342578    12.281162   0
-0.810823   -1.466018   1
2.530777    6.476801    1
1.296683    11.607559   0
0.475487    12.040035   0
-0.783277   11.009725   0
0.074798    11.023650   0
-1.337472   0.468339    1
-0.102781   13.763651   0
-0.147324   2.874846    1
0.518389    9.887035    0
1.015399    7.571882    0
-1.658086   -0.027255   1
1.319944    2.171228    1
2.056216    5.019981    1
-0.851633   4.375691    1
-1.510047   6.061992    0
-1.076637   -3.181888   1
1.821096    10.283990   0
3.010150    8.401766    1
-1.099458   1.688274    1
-0.834872   -1.733869   1
-0.846637   3.849075    1
1.400102    12.628781   0
1.752842    5.468166    1
0.078557    0.059736    1
0.089392    -0.715300   1
1.825662    12.693808   0
0.197445    9.744638    0
0.126117    0.922311    1
-0.679797   1.220530    1
0.677983    2.556666    1
0.761349    10.693862   0
-2.168791   0.143632    1
1.388610    9.341997    0
0.317029    14.739025   0

获得结果

>>> import logRegres
>>> param_mat, label_mat = logRegres.loadDataSet()
>>>
>>> logRegres.gradAscent(param_mat, label_mat)
matrix([[ 4.12414349],
[ 0.48007329],
[-0.6168482 ]])
>>>

这里每次迭代采用的是全部的样本，计算量较大，可以修改为每次迭代选取随机的样本。

参考

机器学习实战