逻辑斯蒂回归（LogisticRegression）sklearn的一个例子中文解释

http://www.2cto.com/net/201607/522311.html
http://scikit-learn.org/stable/auto_examples/linear_model/plot_logistic_l1_l2_sparsity.html#sphx-glr-auto-examples-linear-model-plot-logistic-l1-l2-sparsity-py
LR回归(Logistic Regression)

LR回归，虽然这个算法从名字上来看，是回归算法，但其实际上是一个分类算法，学术界也叫它logit regression, maximum-entropy classification (MaxEnt)或者是the log-linear classifier。在机器学习算法中，有几十种分类器，LR回归是其中最常用的一个。

LR回归是在线性回归模型的基础上，使用sigmoid函数，将线性模型 wTx 的结果压缩到[0,1] 之间，使其拥有概率意义。 其本质仍然是一个线性模型，实现相对简单。在广告计算和推荐系统中使用频率极高，是CTR预估模型的基本算法。同时，LR模型也是深度学习的基本组成单元。

LR回归属于概率性判别式模型，之所谓是概率性模型，是因为LR模型是有概率意义的;之所以是判别式模型，是因为LR回归并没有对数据的分布进行建模，也就是说，LR模型并不知道数据的具体分布，而是直接将判别函数，或者说是分类超平面求解了出来。

一般来说，分类算法都是求解p(Ck|x) ，即对于一个新的样本，计算其条件概率 p(Ck|x)。这个可以看做是一个后验概率，其计算可以基于贝叶斯公式得到：p(Ck|x)=p(x|Ck)p(Ck) ,其中p(x|Ck)是类条件概率密度，p(Ck)是类的概率先验。使用这种方法的模型，称为是生成模型，即：p(Ck|x)是由p(x|Ck) 和 p(Ck)生成的。分类算法所得到的p(Ck|x) 可以将输入空间划分成许多不相交的区域，这些区域之间的分隔面被称为判别函数(也称为分类面)，有了判别函数，就可以进行分类了，上面生成模型，最终也是为了得到判别函数。如果直接对判别函数进行求解，得到判别面，这种方法，就称为判别式法。LR就属于这种方法。

logistic distribution (逻辑斯蒂分布)

之前说过，LR回归是在线性回归模型的基础上，使用sigmoid函数得到的。关于线性模型，在前面的文章《线性回归》中已经说了很多了。这里就先介绍一下，sigmoid函数。

首先，需要对 logistic distribution (逻辑斯蒂分布)进行说明，这个分布的密度函数和分布函数如下：

p(x;μ,s)=e?(x?μ)/ss(1+e?(x?μ)/s)

P(x;μ,s)=1e?(x?μ)/s

这里μ是位置参数，而s 是形状参数。

逻辑斯蒂分布在不同的μ 和 s 的情况下，其概率密度函数p(x;μ,s)的图形：

 



 

逻辑斯蒂分布在不同的μ 和 s 的情况下，其概率分布函数P(x;μ,s)的图形：

 



 

由图可以看出，逻辑斯蒂分布和高斯分布的密度函数长得差不多。特别注意逻辑斯蒂分布的概率分布函数自中心附近增长速度较快，而在两端的增长速度相对较慢。形状参数s的数值越小，则概率分布函数在中心附近增长越快。

当μ=0,s=1 时，逻辑斯蒂分布的概率分布函数就是我们常说的sigmoid函数：

σ(a)=11+e?a

且其导数为：

dσda=σ(1?σ)

这是一个非常好的特性，并且这个特性在后面的推导中将会被用到。

从逻辑斯蒂分布 到 逻辑斯蒂回归模型

前面说过，分类算法都是求解p(Ck|x)，而逻辑斯蒂回归模型，就是用当μ=0,s=1 时的逻辑斯蒂分布的概率分布函数：sigmoid函数，对p(Ck|x)进行建模，所得到的模型，对于二分类的逻辑斯蒂回归模型有：

P(C1|x)=P(x|C1)P(C1)P(x|C1)P(C1)+P(x|C2)P(C2)=σ(a)=11+e?a

P(C2|x)=P(x|C2)P(C2)P(x|C1)P(C1)+P(x|C2)P(C2)=1?σ(a)=e?a1+e?a

很容易求得，这里：

a=lnP(x|C1)P(C1)P(x|C2)P(C2)

a 就是我们在分类算法中的决策面，由于LR回归是一个线性分类算法，所以，此处采用线性模型：这里参数向量为ω={w0,w1,w2,...,wn}，?j(x)是线性模型的基函数，基函数的数目为M个，如果定义?0(x)=1的话

a=y(x,w)=∑j=0Mωj?j(x)=wT?(x)

w=(w0,w1,w2,...,wM)

?=(?0,?1,?2,...,?M)

那么， 逻辑斯蒂回归模型p(Ck|x) 就可以重写为下面这个形式：

p(C1|x)=σ(a)=σ(wT?)

p(C2|x)=1?σ(a)=1?σ(wT?)

对于一个二分类的数据集{xn,tn}，这里tn∈{0,1}，?n=?(xn)t={t1,t2,...,},yn=p(C1|xn)其极大似然估计为：

P(t|w)=∏n=1N{ytnn?(1?yn)(1?tn)}

对数似然估计为：

lnP(t|w)=∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}

关于w的梯度为：

?lnP(t|w)?w=∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)

?lnP(t|w)?w=∑n=1N{tn1yn?yn?(1?tn)11?yn?yn}=∑n=1N{(tn1yn?(1?tn)11?yn)yn(1?yn)?(?wT?n)}=∑n=1N{(yn?tn)?n}

得到梯度之后，那么就可以和线性回归模型一样，使用梯度下降法求解参数w。

wt+1=wt?α?lnP(t|w)

梯度下降法实现相对简单，但是其收敛速度往往不尽人意，可以考虑使用随机梯度下降法来解决收敛速度的问题。但上面两种在最小值附近，都存在以一种曲折的慢速逼近方式来逼近最小点的问题。所以在LR回归的实际算法中，用到的是牛顿法，拟牛顿法(DFP、BFGS、L-BFGS)。

由于求解最优解的问题，其实是一个凸优化的问题，这些数值优化方法的区别仅仅在于选择什么方向走向最优解，而这个方向通常是优化函数在当前点的一阶导数(梯度)或者二阶导数(海森矩阵)决定的。比如梯度下降法用的就是一阶导数，而牛顿法和拟牛顿法用的就是二阶导数。

带惩罚项的LR回归

之前就L1正则化和L2正则化作了详细的说明，其主要是用来避免模型的参数w过大，而导致的模型过拟合的问题。其实现方法就是在前面的对数似然函数后面再加上一个惩罚项。

L2惩罚的LR回归：

minw{C∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}+12wTw}

L1惩罚的LR回归：

minw{C∑n=1N{tnlnyn+(1?tn)ln(1?yn)}+||w||}

上式中，C是用于调节目标函数和惩罚项之间关系的，C越小，惩罚力度越大，所得到的w的最优解越趋近于0，或者说参数向量越稀疏;C越大，惩罚力度越小，越能体现模型本身的特征。

#!/usr/bin/python

# -*- coding: utf-8 -*-

"""

author ： duanxxnj@163.com

time : 2016-07-03-18-04

基于L1惩罚和L2惩罚的LR回归模型

C是用于调节目标函数和惩罚项之间关系的

C越小，惩罚力度越大，所得到的w的最优解越趋近于0，或者说参数向量越稀疏

C越大，惩罚力度越小，越能体现模型本身的特征。

本例子是利用逻辑回归做数字分类

每个样本都是一个8x8的图片，将这些样本分为两类：0-4为一类，5-9为一类

"""

print(__doc__)

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

from sklearn import datasets

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 读取图片数据

# 这个数据集中有共有10种数字图片，数字分别是0-9

# 每种类别的数字大概有180张图片，总共的图片数目为1797张

# 每幅图片的尺寸为8x8，即64个像素点

# 像素的变化范围是0-16

#

# 也就是说，每个样本点有64个特征

# 即本例中LR模型的特征维度为64

digits = datasets.load_digits()

# 将前12张数字图片显示出来

plt.figure(1)

for i in range(12):

imageplot = plt.subplot(3, 4, i+1)

plt.imshow(digits.images[i], interpolation='nearest',

cmap='binary', vmax=16, vmin=0)

imageplot.set_title("digit %d" % i)

# 读取数据X和目标y，并将数据X归一化

# 归一化的结果是均值为0，方差为1，也就是常用的z变换

#

# 对于机器学习中的很多方法，比如SVM，L1、L2正则化的线性模型等等

# 对于数据，都有一个基本假设，就是数据每个特征都是以0为中心

# 并且所有特征的数据变化都在同一个数量级

# 如果有一个特征的方差特别大，那么这个特征就有可能对机器学习的模型起决定性的作用

# 为了防止上面的现象，所以这里将数据做了归一化，或者叫做正则化

X, y = digits.data, digits.target

X = StandardScaler().fit_transform(X)

# 将数据集分成两类 0-4之间为一类，5-9之间为另一类

y = (y > 4).astype(np.int)

plt.figure(2)

for i, C in enumerate((100, 1, 0.01)):

# 根据不同的C得到不同的LR模型

clf_l1_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l1', tol=0.01)

clf_l2_LR = LogisticRegression(C=C, penalty='l2', tol=0.01)

clf_l1_LR.fit(X, y)

clf_l2_LR.fit(X, y)

# LR模型的参数向量

coef_l1_LR = clf_l1_LR.coef_.ravel()

coef_l2_LR = clf_l2_LR.coef_.ravel()

# 计算L1和L2惩罚下，模型参数w的稀疏性

sparsity_l1_LR = np.mean(coef_l1_LR == 0) * 100

sparsity_l2_LR = np.mean(coef_l2_LR == 0) * 100

print("C=%.2f" % C)

print("L1惩罚项得到的参数的稀疏性: %.2f%%" % sparsity_l1_LR)

print("L1惩罚项的模型性能: %.4f" % clf_l1_LR.score(X, y))

print("L2惩罚项得到的参数的稀疏性: %.2f%%" % sparsity_l2_LR)

print("L2惩罚项的模型性能: %.4f" % clf_l2_LR.score(X, y))

l1_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * i + 1)

l2_plot = plt.subplot(3, 2, 2 * (i + 1))

if i == 0:

l1_plot.set_title("L1 penalty")

l2_plot.set_title("L2 penalty")

print coef_l1_LR

l1_plot.imshow(np.abs(coef_l1_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest',

cmap='binary', vmax=1, vmin=0)

l2_plot.imshow(np.abs(coef_l2_LR.reshape(8, 8)), interpolation='nearest',

cmap='binary', vmax=1, vmin=0)

plt.text(-8, 3, "C = %.2f" % C)

l1_plot.set_xticks(())

l1_plot.set_yticks(())

l2_plot.set_xticks(())

l2_plot.set_yticks(())

plt.show()

 



 

 



 

程序运行结果：

C=100.00

L1惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%

L1惩罚项的模型性能: 0.9098

L2惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%

L2惩罚项的模型性能: 0.9098

C=1.00

L1惩罚项得到的参数的稀疏性: 9.38%

L1惩罚项的模型性能: 0.9098

L2惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%

L2惩罚项的模型性能: 0.9093

C=0.01

L1惩罚项得到的参数的稀疏性: 85.94%

L1惩罚项的模型性能: 0.8614

L2惩罚项得到的参数的稀疏性: 4.69%

L2惩罚项的模型性能: 0.8915

由上面的运行结果可以看出，随着C的不断减小，L1惩罚项带来的参数的稀疏性越来越大，而L2惩罚项的参数的稀疏性并没有特别大的改变。所以，在之前的Lasso Regression中也提到过，可以使用L1正则化来进行特征选择。关于L1和L2正则化带来的结果上的稀疏性的区别，在RPML中是这么解释的：下面左边是L2正则化，右边是L1正则化，可以看出由于L1正则化的最小点或者说是最优解，一般会直接走到坐标轴上，这样其他坐标轴的数值就直接为0了，而那些为0 的坐标轴对应的就是不重要的特征，比如下图右边图中的w1;右图中
的w2就是重要的特征。而L2正则化由于其解的约束空间是一个圆形，所以最优解很难落到坐标轴上，所以其并不用于做特征选择。